Производная ФКП. Условия Коши-Римана. Аналитические функции. Функции комплексной переменной. Дифференцирование функций комплексной переменной. Условия Коши-Римана Значение производной функции комплексного переменного в точке

Теорема

Для того чтобы функция w = f (z ) , определённая в некоторой области D комплексной плоскости, была дифференцируема в точке z 0 = x 0 + i y 0 как функция комплексного переменного z , необходимо и достаточно, чтобы её вещественная и мнимая части u и v были дифференцируемы в точке (x 0 ,y 0) как функции вещественных переменных x и y и чтобы, кроме того, в этой точке выполнялись условия Коши - Римана:

; ;

Если условия Коши - Римана выполнены, то производная f "(z ) представима в любой из следующих форм:

Доказательство

Следствия

История

Эти условия впервые появились в работе д"Аламбера (1752 г.). В работе Эйлера , доложенной Петербургской академии наук в 1777 г. , условия получили впервые характер общего признака аналитичности функций. Коши пользовался этими соотношениями для построения теории функций, начиная с мемуара, представленного Парижской академии наук в 1814 г. Знаменитая диссертация Римана об основах теории функций относится к 1851 г.

Литература

Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. - М.: Наука , . - 577 с.
Титчмарш Е. Теория функций: Пер. с англ. - 2-е изд., перераб. - М.: Наука , . - 464 с.
Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного: Пособие для высшей школы. - М.-Л.: Государственное издательство, . - 316 с.
Евграфов М. А. Аналитические функции. - 2-е изд., перераб. и дополн. - М.: Наука , . - 472 с.

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Условия Коши - Римана" в других словарях:

Римана, называемые также условиями д’Аламбера Эйлера соотношения, связывающие вещественную и мнимую части всякой дифференцируемой функции комплексного переменного. Содержание 1 Формулировка … Википедия

Условия Коши Римана, или условия Д’Аламбера Эйлера условия на вещественную u = u(x,y) и мнимую v = v(x,y) части функции комплексного переменного, обеспечивающие бесконечную непрерывную дифференцируемость f(z) как функции комплексного… … Википедия

Д Аламбера Эйлера условия, условия на действительную и=и(х, у).и мнимую v= v(x, у).части функции комплексного переменного обеспечивающие моногенность и аналитичность f(z) как функции комплексного переменного. Для того чтобы функция w=f(z),… … Математическая энциклопедия

Огюстен Луи Коши Augustin Louis Cauchy … Википедия

Огюстен Луи Коши Огюстен Луи Коши (фр. Augustin Louis Cauchy; 21 августа 1789, Париж 23 мая 1857, Со (О де Сен)) французский математик, член Парижской академии наук, разработал фундамент математического анализа и сам внёс огромный вклад в анализ … Википедия

1. Производная и дифференциал. Определения производной и дифференциала функции комплексного переменного дословно совпадают с соответствующими определениями для функций одного действительного переменного.

Пусть функция w = f(z) = и + iv определена в некоторой окрестности U точки zo. Дадим независимому переменному z = х + гу приращение Az = А.г + гАу, не выводящее за пределы окрестности U. Тогда функция w = f(z) получит соответствующее приращение Aw = = f(z 0 + Дг) - f(z 0).

Производной функции w = f(z) в точке zq называется предел отношения приращения функции Aw к приращению аргумента Az при стремлении Az к нулю (произвольным образом).

Производная обозначается f"(z Q), w или у-. Определение производной можно записать в виде

Предел в (6.1) может и не существовать; тогда говорят, что функция w = f(z) не имеет производной в точке zq.

Функция w = f(z) называется дифференцируемой о точке Zq , если она определена в некоторой окрестности U точки zq и ее приращение Aw можно представить в виде

где комплексное число Л не зависит от А г, а функция а(Аг) - бесконечно малая при Az -» 0, т.е. Пт а(Аг) = 0.

Так же как и для функций действительного переменного, доказывается, что функция f(z) дифференцируема в точке zq тогда и только тогда, когда она имеет производную в zo . причем А = f"(zo). Выражение f"(zo)Az называется дифференциалом функции f(z) в точке Zq и обозначается dw или df(zo). При этом приращение Az независимого переменного -г называется также дифференциалом переменного г и

обозначается dz. Таким образом,

Дифференциал есть главная линейная часть приращения функции.

Пример 6.1. Исследовать, имеет ли функция w = /(г) = Rez производную в произвольной точке Zq.

Решение. По условию, ш = Rea = х. В силу определения производной, предел (С.1) не должен зависеть от того, по какому пути

точка z = Zq + Az приближается к го при Az -? 0. Возьмем вначале Az - Ах (рис. 15, а). Так как Aw = Ах. то = 1. Если

же взять Az = iAy (рис. 15, б ), то Ах = 0 и, следовательно, Aw = 0.

Значит, и = 0. Поэтому предат отношения при Az -> 0 не A z A z

существует и, следовательно, функция w = Re г = х не имеет производной ни в одной точке.

В то же время функция w = z = х + iy, очевидно, имеет производную в любой точке го, и /"(го) = 1. Отсюда ясно, что действительная и мнимая части дифференцируемой функции /(г) не могут быть произвольными; они должны быть связанными некоторыми дополнительными соотношениями. Эти соотношения возникают оттого, что условие существования производной /"(го) существенно более ограничительно, чем условие существования производной функций одного действительного переменного или частных производных функций нескольких действительных переменных: требуется, чтобы предел в (6.1) существовал и не зависел от пути, по которому точка г = = го + Аг приближается к го при Аг 0. Для вывода указанных соотношений напомним определение дифференцируемости функции двух переменных.

Действительная функция и = и(х,у) действительных переменных х и у называется дифференцируемой в точке Ро(хо,уо), если она определена в некоторой окрестности точки Д> и ее полное приращение А и = и(х о + Ах, у о + А у) - и(хо,Уо) представимо в виде

где В и С - действительные числа, не зависящие от Дж, Ау, а {3 Ах и Ау, стремящиеся к нулю при Ах -» 0, Ау -> 0.

Если функция и дифференцируема в точке Ро, то она имеет част-

г, „ ди (Р 0) ^ ди(Ро) гт ,

ные производные в Ро, причем В = ---, С = ---. Но (в отли-

ох ау

чие от функций одной переменной) из существования частных производных функции и(х,у) еще не следует ее дифференцируемость.

2. Условия Коши-Римана.

Теорема 6.1. Пусть функция w = f(z) комплексного переменного z = (ж, у) определена в окрестности точки, zq = (жо, у о) и f(z) = и(х,у) +iv(x, y). Для того, чтобы f(z) была дифференцируемой в точке Zq, необходимо и достаточно, чтобы функции и(х, у) XI v(x, y) были дифференцируемыми в точке (жо, уо) и чтобы в этой, точке выполнялись условия

Равенства (6.4) называются условиями Коши-Римана .

Доказательство. Необходимость. Пусть функция w = f(z) дифференцируема в точке zq, т.е.

Обозначим f"(zo) = а + ib а(Дг) = fi(Ax, Ау) + г7(Дж, Ay); Az = Ах + (Ау, где /3 и 7 - действительные функции переменных Ах, Ау, стремящиеся к нулю при Дж -> 0, Ау -> 0. Подставляя эти равенства в (6.5) и выделяя действительные и мнимые части, получим:

Поскольку равенство комплексных чисел равносильно равенству их действительных и мнимых частей, то (6.6) равносильно системе равенств

Равенства (6.7) означают, что функции и(х,у ), v(x,y) удовлетворяют условию (6.3) и, следовательно, являются дифференцируемыми. Так как коэффициенты при Дж и Ау равны частным производным по ж и у соответственно, то из (6.7) получаем

откуда и следуют условия (6.4).

Достаточность. Предположим теперь, что функции и(х, у) и v(x,y) дифференцируемы в точке (хо.уо) и и(х,у) и выполнены условия (6.4).

Обозначая а = ^, 6=-^ и применяя (6.4), придем к равенствам (6.8). Из (6.8) и условия дифференцируемости функций и(х,у), v(x,y) имеем

где ft, 7i, ft, д -2 - функции, стремящиеся к нулю при Ах -> 0, Ау -> -> 0. Отсюда

An + iAv = (о + ib)(Ах + i.Ay) + (ft + ift)Ax + (71 + *72)Ay. (6.9) Определим функцию а(Дг) равенством

и положим А = а 4- ib. Тогда (6.9) перепишется в виде равенства

которое совпадает с (6.2). Дня доказательства дифференцируемости

функции f(z) осталось показать, что lim a(Az) = 0. Из равенства

следует, что Ах ^ |Дг|, Ау ^ |Дг|. Поэтому

Если Az -? 0, то Ах -? 0, Ау -> 0, а значит, и функции ft, ft, 71, 72 стремятся к нулю. Поэтому а(Дг) -> 0 при Az -> 0, и доказательство теоремы 6.1 закончено.

Пример 6.2. Выяснить, является ли функция w = z 2 дифференцируемой; если да, то в каких точках?

Решение, w = и + iv = (х + iy ) 2 = х 2 - у 2 + 2ixy, откуда и = = х 2 - у 2 , V = 2ху. Следовательно,

Таким образом, условия (6.4) Коши-Римана выполнены в каждой точке; значит, функция w = г 2 будет дифференцируемой в С.

Пример 6.3. Исследовать дифференцируемость функции w = - z - x - iy.

Р е ш е н и е. w = u + iv = x - iy, откуда и = х, v = -у и

Таким образом, условия Коши-Римана не выполнены ни в одной точке, и, следовательно, функция w = z нигде не дифференцируема.

Проверять дифференцируемость функции и находить производные можно непосредственно по формуле (6.1).

П р и м е р 6.4. Используя формулу (6.1), исследовать дифференцируемость функции IV = z 2 .

Решение. Aw - (zq + Az) 2 - Zq = 2 zqAz -I- (Az) 2 , откуда

Следовательно, функция w = zr дифференцируема в любой точке 2о, и ее производная f"(zo) = 2 zo-

Так как основные теоремы о пределах сохраняются для функции комплексного переменного, а определение производной функции комплексного переменного также не отличается от соответствующего определения для функций действительного переменного, то известные правила дифференцирования суммы, разности, произведения, частного и сложной функции остаются справедливыми и для функций комплексного переменного. Аналогично доказывается также, что если функция f(z) дифференцируема в точке zo. то она непрерывна в этой точке; обратное утверждение неверно.

3. Аналитические функции. Функция w = /(^дифференцируемая нс только в самой точке zq, но и в некоторой окрестности этой точки, называется аналитической в точке zq. Если f(z) является аналитической в каждой точке области D, то она называется аналитической (регулярной, голоморфной) в области D.

Из свойств производных сразу следует", что если f(z) и g(z) - аналитические функции в области D, то функции f(z) + g(z), f(z) - g(z ), f(z) g(z) также аналитичны в области D, а частное f(z)/g(z) аналитическая функция во всех точках области D. в которых g(z) ф 0. Например, функция

является аналитической в плоскости С с выброшенными точками z = = 1 и z - i.

Из теоремы о производной сложной функции вытекает следующее утверждение: если функция и = u(z ) аналитична в области D и отображает D в область D" переменного и, а функция w = f(u) аналитична в области D" , то сложная функция w = f(u(z)) переменного z аналитична в D.

Введем понятие функции, аналитической в замкнутой области D. Отличие от открытой области здесь в том, что добавляются точки границы, не имеющие окрестности, принадлежащей D; поэтому производная в этих точках нс определена. Функция f(z) называется аналитической (регулярной , голоморфной ) в замкнутой области D , если эту функцию можно продолжить в некоторую более широкую область D i, содержащую D, до аналитической в D функции.

Условия (6.4) изучались еще в XVIII в. Даламбером и Эйлером. Поэтомуих иногда называют также условиями Даламбера-Эйлера, что с историческойточки зрения более правильно.

Понятие функции комплексной переменной

Сначала освежим знания о школьной функции одной переменной:

Функция одной переменной – это правило, по которому каждому значению независимой переменной (из области определения) соответствует одно и только одно значение функции . Естественно, «икс» и «игрек» – действительные числа.

В комплексном случае функциональная зависимость задается аналогично:

Однозначная функция комплексной переменной – это правило, по которому каждому комплексному значению независимой переменной (из области определения) соответствует одно и только одно комплексное значение функции . В теории рассматриваются также многозначные и некоторые другие типы функций, но для простоты я остановлюсь на одном определении.

Чем отличается функция комплексной переменной?

Главное отличие: числа комплексные. Я не иронизирую. От таких вопросов нередко впадают в ступор, в конце статьи историю прикольную расскажу. На уроке Комплексные числа для чайников мы рассматривали комплексное число в виде . Поскольку сейчас буква «зет» стала переменной, то её мы будем обозначать следующим образом: , при этом «икс» и «игрек» могут принимать различные действительныезначения. Грубо говоря, функция комплексной переменной зависит от переменных и , которые принимают «обычные» значения. Из данного факта логично вытекает следующий пункт:

Действительная и мнимая часть функции комплексной переменной

Функцию комплексной переменной можно записать в виде:
, где и – две функции двух действительных переменных.

Функция называется действительной частью функции .
Функция называется мнимой частью функции .

То есть, функция комплексной переменной зависит от двух действительных функций и . Чтобы окончательно всё прояснить рассмотрим практические примеры:

Решение: Независимая переменная «зет», как вы помните, записывается в виде , поэтому:

(1) В исходную функцию подставили .

(2) Для первого слагаемого использовали формулу сокращенного умножения . В слагаемом – раскрыли скобки.

(3) Аккуратно возвели в квадрат , не забывая, что

(4) Перегруппировка слагаемых: сначала переписываем слагаемые, в которых нет мнимой единицы (первая группа), затем слагаемые, где есть (вторая группа). Следует отметить, что перетасовывать слагаемые не обязательно, и данный этап можно пропустить (фактически выполнив его устно).

(5) У второй группы выносим за скобки.

В результате наша функция оказалась представлена в виде

Ответ:
– действительная часть функции .
– мнимая часть функции .

Что это получились за функции? Самые что ни на есть обыкновенные функции двух переменных, от которых можно найти такие популярные частные производные . Без пощады – находить будем. Но чуть позже.

Кратко алгоритм прорешанной задачи можно записать так: в исходную функцию подставляем , проводим упрощения и делим все слагаемые на две группы – без мнимой единицы (действительная часть) и с мнимой единицей (мнимая часть).

Найти действительную и мнимую часть функции

Это пример для самостоятельного решения. Перед тем как с шашками наголо броситься в бой на комплексной плоскости, позвольте дать самый важный совет по теме:

БУДЬТЕ ВНИМАТЕЛЬНЫ! Внимательным нужно быть, конечно, везде, но в комплексных числах следует быть внимательным, как никогда! Помните, что , аккуратно раскрывайте скобки, ничего не теряйте. По моим наблюдениям, самой распространенной ошибкой является потеря знака. Не спешите!

Полное решение и ответ в конце урока.

Теперь куб. Используя формулу сокращенного умножения , выведем:
.

Формулы очень удобно использовать на практике, поскольку они значительно ускоряют процесс решения.

Дифференцирование функций комплексной переменной.
Условия Коши-Римана

У меня есть две новости: хорошая и плохая. Начну с хорошей. Для функции комплексной переменной справедливы правила дифференцирования и таблица производных элементарных функций. Таким образом, производная берётся точно так же, как и в случае функции действительной переменной .

Плохая новость состоит в том, что для многих функций комплексной переменной производной не существует вообще, и приходится выяснять, дифференцируема ли та или иная функция. А «выяснять», как чует ваше сердце, связано с дополнительными заморочками.

Рассмотрим функцию комплексной переменной . Для того, чтобы данная функция была дифференцируема необходимо и достаточно:

1) Чтобы существовали частные производные первого порядка . Об этих обозначениях сразу забудьте, поскольку в теории функции комплексного переменного традиционно используется другой вариант записи: .

2) Чтобы выполнялись так называемые условия Коши-Римана:

Только в этом случае будет существовать производная!

Определить действительную и мнимую части функции . Проверить выполнение условий Коши-Римана. В случае выполнения условий Коши-Римана, найти производную функции.

Решение раскладывается на три последовательных этапа:

1) Найдём действительную и мнимую часть функции. Данное задание было разобрано в предыдущих примерах, поэтому запишу без комментариев:

Так как , то:

Таким образом:
– действительная часть функции ;
– мнимая часть функции .

Остановлюсь еще на одном техническом моменте: в каком порядке записывать слагаемые в действительной и мнимой частях? Да, в принципе, без разницы. Например, действительную часть можно записать так: , а мнимую – так: .

3) Проверим выполнение условий Коши Римана. Их два.

Начнем с проверки условия . Находим частные производные :

Таким образом, условие выполнено.

Несомненно, приятная новость – частные производные почти всегда очень простые.

Проверяем выполнение второго условия :

Получилось одно и то же, но с противоположными знаками, то есть, условие также выполнено.

Условия Коши-Римана выполнены, следовательно, функция дифференцируема.

3) Найдём производную функции. Производная тоже очень простая и находится по обычным правилам:

Мнимая единица при дифференцировании считается константой.

Ответ: – действительная часть, – мнимая часть.
Условия Коши-Римана выполнены, .

Интеграл ФКП. Теорема Коши.

Формула (52 ) называется интегральной формулой Коши или интегралом Коши. Если в качестве контура в (52 ) выбрать окружность , то, заменяя и учитывая, что - дифференциал длины дуги , интеграл Коши можно представить в виде формулы среднего значения:

Помимо самостоятельного значения интегральной формулы Коши, (52 ), (54 ) фактически дают очень удобный способ вычисления контурных интегралов, которые, как видно, будут выражаться через значение "остатка" подынтегральной функции в точке, где эта функция имеет особенность .

Пример 3-9. Вычислить интеграл от функции по контуру (рис.20 ).

Решение. Точка , в которой функция имеет особенность, в отличие от примера 4-1, находится внутри окружности . Представим интеграл в форме (52 ):

Формула Коши.

Пусть - область на комплексной плоскости с кусочно-гладкой границей , функция - голоморфна в и - точка внутри области . Тогда справедлива следующая формула Коши:

Формула справедлива также, если предполагать, что голоморфна внутри , и непрерывна на замыкании, а также если граница не кусочно-гладкая, а всего лишь спрямляемая.(Голоморфная функция-функция комплексного числа, кусочно-гладкая- функция вещественного числа)

Элементарные ФКП: функция Тейлора, тригонометрические функции, гиперболические функции, обратные тригонометрические функции, логарифмические функции, формула Коши.

Транскрипт

1 Условия Коши-Римана.) Проверить выполнение условий Коши-Римана для функции w zi e. Функция, имеющая производную в точке z, называется дифференцируемой в этой точке. Условия Коши - Римана (Даламбера - Эйлера, Эйлера - Даламбера): w f z u, iv, то в каждой точке дифференцируемости функции f z Если z i выполняются равенства, u v u v Запишем данную функцию в алгебраической форме, полагая z i: zi ii i i we e e e e e cos isin e cos isin e cos ie sin Выделим действительную u и мнимую v части функции w: u, e cos v, e sin Вычисляем частные производные: u cos e e cos v e sin e cos u e cos e sin v e sin e sin - условия Коши-Римана выполняются. Литература:) Гусак А.А. "Теория функций комплексной переменной и операционное исчисление", 00, стр. 59 (пример 9), стр. 0 (пример);) Письменный Д.Т. "Конспект лекций по высшей математике", 006, стр. 530, стр (условия Эйлера-Даламбера, аналитичность функции).) Проверить выполнение условий Коши-Римана для функции w z 4iz. Запишем данную функцию в алгебраической форме, полагая z i: w i 4i i i 4 i i

2 Выделим действительную u и мнимую v части функции w: u, 4 v, 4 Вычисляем частные производные: u 4 v 4 u 4 4 v условия Коши-Римана выполняются. 3) Проверить выполнение условий Коши-Римана для функции sin iz. Выразим тригонометрическую функцию sin z через показательную: iz iz e e sin z i и примем во внимание, что z i: ii ii ii ii i i e e e e e e e e sin iz i i i e i i e e e e e cos isin e cos isin e sin icose sin icos e sin icose sin icos e sin ie cose sin ie cos sin cos e e i e e Действительная и мнимая части числа u iv: u, sin e e, cos v e e

3 Вычисляем частные производные: u sin sin e e e e v cos e e sin e e sin e e и u sin cos e e e e cos cos e e e e v Как видим, условия Коши-Римана u v u v sin iz выполняются. для функции 4) Пользуясь условиями Коши-Римана, проверить, будет ли аналитической функция w f z: Функция wsin z3 z. w f z называется аналитической в точке z, если она дифференцируема как в самой точке z, так и в некоторой её окрестности. Функция w f z, дифференцируемая в каждой точке некоторой области D, называется аналитической функцией в этой области. Условия Коши - Римана (Даламбера - Эйлера, Эйлера - Даламбера): Если z i w f z u, iv, то в каждой точке дифференцируемости функции f z выполняются равенства u v u v,. Запишем данную функцию в алгебраической форме, полагая z i: i 3 i w sin ii ii e e 3i3 i i i e e 3i3 i i i e e e e 3i3 i e cos isin e cosisin 3i3 i e cos ie sin e cos i e sin 3 i3 i 3

4 cos e e i e e sin 3i3 i cos i e e e e sin 3i3 e e sin i e e cos 3i3 e e sin 3i e e cos 3 ch sin 3 sh i cos 3 Формулы, использованные в преобразованиях: iz iz e e sin z i, zc e e sh, R e e ch, R Выделим действительную и мнимую части w z u, i v, u, chsin 3 v, shcos3: Вычисляем частные производные: u ch sin 3 ch cos3 v sh cos3 ch cos3 u ch sin 3 sh sin v sh cos 3 sh sin Итак, условия Коши-Римана u v u v, выполнены; следовательно, функция sin w f z z3 z является аналитической. 4

5 5) Доказать аналитичность функции и найти производную: z z e w e Запишем данную функцию в алгебраической форме, полагая z i: i i e e w e cos isin e cosisin e cos isin e cos isin e cos ie sin e cos ie sin cos e e i e e sin e e e e cos i sin ch cos ish sin Выделим действительную и мнимую части w z u, i v, u, chcos v, shsin Вычисляем частные производные: u ch cos sh cos v sh sin sh cos u ch cos ch sin v sh sin ch sin: Условия Коши-Римана u v u v, выполнены; следовательно, функция w f z e z e z является аналитической. Для всякой аналитической функции f z u, i v, частные производные функций u u, и v v, : производная f u v v u u u v v f z i i i i Вычисляем производную функции производные функций u, и v, : z выражается через f z, используя выражение производной функции w z z z e e u v w z i sh cos ich sin z через частные 5

6 или непосредственно: z z e e z z z z w e e z e e z i i i i e e e e e e e cos isin e cosisin e cos isin e cos isin cos sin e e i e e e e e e cos i sin sh cos ich sn i 6) Представить iz w, где z i e, в виде w u, i v,. Проверить, будет ли она аналитической, если да, то найти производную в точке z0 6. Выделим в данном числе в явном виде действительную u, и мнимую части, ep ep ep ep e cos i sin e cos i e sin v: i w iz i i i i e e - получено комплексное число в алгебраической форме записи. Re w u, e cos Im w v, e sin Для всякой аналитической функции f z u, i v, частные производные функций u u, и v v, : производная f u v v u u u v v f z i i i i z выражается через Вычислим частные производные u, e cos, sin v e u e cos sin e u cos e cos e v e sin sin e v sin e cos e Поскольку условия Коши-Римана выполняются (u v, u v) для всех точек плоскости O, исследуемая функция является аналитической на всей плоскости, и её производная 6

7 u v w z i e i e sin cos 6 6 w zesin iecos e 3 ie 3 3 В точке z0 i0: Литература:) Гусак А.А. "Теория функций комплексной переменной и операционное исчисление", 00, стр. 59 (пример 9), стр. 0 (пример). Вычислить значение функции. 7) Вычислить значение функции комплексного переменного w cos z в точке z0 i. e Для любого z C: cos z iz e iz Тогда ii ii i i i i e e e e e e e e wicosi e cos isin e cos isin cos e e isin e e e e e e cos i sin ch cos i sh sin Ответ: i cos ch cos ish sin Литература:) Морозова В.Д. "Теория функций комплексной переменной", 009, том 0, изд. МГТУ, стр. 06;) Лунц Г.Л., Эльсгольц Л.Э. "Функции комплексного переменного", 00, стр) Вычислить значение функции комплексного переменного w th z в точке z 0 ln 3 в алгебраической форме. z z e e Для любого z C: th z z z e e Значит i i ln 3 i ln 3 i e 4 e w z 0 i e e th ln ln 3 i ln 3 i i i e 4 e 4 e 4 3 e 4 3 i 4, ответ записать 7

8 i i 9cos isin cos isin 9e 4 e i i 9e 4 e 4 9cos isin cos isin i i 9 i i 9 i i 9 i i 9 i9 i 8 i0 45i 9 i9 i 0 i 8 5 4i 4 5i5 4i 0 5i6i0 40 9i 40 9 i 54i54i результат вычисления в алгебраической форме. 9) Вычислить значение функции комплексного переменного Ln z в точке z 0. Указать главное значение функции. Логарифмическая функция Ln ln arg z z i z k kz Главным значением логарифма числа z называют значение, соответствующее главному значению аргумента числа z ; т.е. главное значение логарифма получим при k 0: ln z ln z i arg z Модуль и аргумент числа z0 0 i: z 0 arg z 0 Следовательно Ln ln i k 0k i kz - значения функции комплексного переменного в точке z 0, записанные в алгебраической форме. (логарифмическая функция Ln z является многозначной) Главное значение логарифма числа z ln 0 i 8

9 0) Вычислить значение функции комплексного переменного i z в точке z i 0. При любых, w z C: w z z Ln w e. i iln i iln i iarg i ki i e e, kz Модуль и аргумент числа w i: i arg iarctg 4 ln i ln i ki i k i k i i ln i iarg i ki ln i i e e 4 e 4 e 4 ln k i k 4 ln ln e e e 4 cos isin, kz - значения функции комплексного переменного z в точке z0 i, записанные в тригонометрической форме (функция многозначная).) Вычислить значение функции комплексного переменного arcctg z в точке z0 i, ответ записать в алгебраической форме. i z i Arcctg z Ln z i Ln z ln z iarg z k, kz (при k 0 получаем главное значение логарифма ln z ln z i arg z) z0 i ii i i3i i3i3 4i i z i ii 3i 3i3i z0 i Ln Ln iln iarctg k z i ln iarctg k ln 5iarctg k, kz 5 и z0 i ln ln 5 i arctg z i 0 i arcctg z0 ln 5 iarcg t arctg i ln 5 0, 3 i 0, 40 4 (главное значение Arcctg i) 9

10 ) Вычислить значение функции комплексного переменного arccos z в точке z0 i, ответ записать в алгебраической форме. Arccos z iln z z Ln z ln z i arg z k, kz При k 0 получаем главное значение логарифма ln z ln z i arg z и главное значение арккосинуса arccos z arg z z iln z z Квадратный корень из комплексного числа даёт два значения; для главного значения функции выбираем одно, аргумент которого попадает в промежуток 0 ;. В данном случае: arccos ln ln iln i i Корень из числа i i i i i i i i принимает два значения. Найдём их: cos arctg i sin arctg i arctg k arctg k i 5 cos isin 4 arctg arctg 5cos isin, k 0 i 4 arctg arctg 5 cos i sin, k cos Используя формулы cos cosarctg 5, получим: cos и sin, и принимая во внимание, что arctg 5 5 cos 0 arctg 5 5 sin 0 и тогда i, k 0 i, k i i, k i, k 0 0 0

11 и 5 5 i, k 0 i i 5 5 i, k Из двух значений выбираем второе, т.к. его аргумент попадает в промежуток 0 ;. Итак, i i 5 i arccos z arg z z iln z z arctg 5 5 iln i 5 5 arctg 5 5 i ln 5 arctg 5 i l n 5 5 5, 7 i 0, 59 5 (главное значение Arccos i) Литература:) Морозова В.Д. "Теория функций комплексной переменной", 009, том 0, изд. МГТУ, стр. 06;) Лунц Г.Л., Эльсгольц Л.Э. "Функции комплексного переменного", 00, стр. 40.

Комплексным числом называется выражение вида x y (алгебраическая форма комплексного числа), где x, y R; x Re - действительная часть комплексного числа; y Im - мнимая часть комплексного числа; - мнимая

Тема 11 Базовые сведения из теории комплексных чисел. Комплексное число - упорядоченная пара действительных чисел записанная в форме где i - "мнимая единица" для которой i = -1; - действительная часть

Комплексные числа. Многочлены. Комплексные числа. 1. Основные определения и формулы для решения задач Комплексным числом в алгебраической форме называется выражение вида = x + y, где x и y - действительные

1 Основные понятия функций комплексного переменного Основные понятия, связанные с функцией комплексного переменного, находятся так же, как и в действительной области. Пусть заданы два множества комплексных

Санкт-Петербургский государственный университет Кафедра математического анализа МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к проведению практических занятий по теории функций комплексной переменной часть 1 Начальные главы

Методические указания к контрольной работе по математике Тема 1. Функции комплексной переменной Дадим определение функции комплексной переменной. Определение. Говорят что на множестве D точек комплексной

Вариант Задача Вычислить значение функции ответ дать в алгебраической форме: а sh ; б l Решение а Воспользуемся формулой связи между тригонометрическим синусом и гиперболическим синусом: ; sh -s Получим

Вариант Задача Вычислить значение функции (ответ дать в алгебраической форме: а th(; б L(sh(/ Решение а Выразим тангенс через синус и косинус: th(Применим ch(/ формулы для синуса разности и косинуса

Министерство образования и науки Российской Федерации РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА имени ИМ ГУБКИНА ИН Мельникова, НО Фастовец ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО ОПЕРАЦИОННОЕ

Тема.Компексные числа и функции. Определение комплексного числа, алгебраическая форма комплексного числа. Вещественная и мнимая части комплексного числа. Операции сложения и умножения комплексных чисел.

Комплексный анализ Функции комплексного переменного Никита Александрович Евсеев Физичеcкий факультет Новосибирского государственного университета Китайско-российский институт Хэйлунцзянского университета

Темы: Наименование раздела, темы Всего аудиторных часов Лекции, часы Практически е занятия, часы 1 2 3 4 Тема 1. Аналитическая геометрия и линейная алгебра 68 34 34 Тема 2. Введение в математический анализ

В. Д. Михайлов Функции комплексной переменной в примерах и задачах 04 УДК 57.5 ББК.6 М69 Михайлов В.Д. Функции комплексной переменной в примерах и задачах: Учебное пособие. СПб., 04. 30 с. Учебное пособие

Стр. 1 из 14 2-е занятие. Показательная форма комплексного числа Матем. анализ, прикл. матем., 4-й семестр A1 Найти модули и аргументы следующих комплексных чисел и записать эти числа в форме z = ρe iϕ,

МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тульский государственный университет» Институт высокоточных систем имени В.П.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ АНГАРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ТЕХНИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ Мусева ТН Свердлова ОЛ Туркина НМ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО Учебное пособие Ангарск СОДЕРЖАНИЕ

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В результате изучения данной темы студент должен научиться: находить тригонометрическую и показательную формы комплексного числа по

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОПОДГОТОВКИ Комплексные числа и действия над ними Даны комплексные числа и Найдите:)))) 5) : а) б) Данное комплексное число запишите:) в тригонометрической форме) в показательной форме

ВАРИАНТ ЗАДАЧА ВЫЧИСЛИТЬ ЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИИ (ОТВЕТ ДАТЬ В АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ФОРМЕ: а Arch; б РЕШЕНИЕ А БУДЕМ ВЫЧИСЛЯТЬ ARH ПО ФОРМУЛЕ Arch(L(В ДАННОМ ПРИМЕРЕ ZI, СЛЕДОВАТЕЛЬНО, Arch L(± L(± ДАЛЕЕ ВОСПОЛЬЗУЕМСЯ

Вариант 9 Задача Вычислить значение функции (ответ дать в алгебраической форме: а cos(; б l(Решение а По формуле тригонометрии cos(-cos cos(s s(Воспользуемся формулами связи между тригонометрическими

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» К а ф е д р а прикладной математики

Лекция.7. Расширение понятия числа. Комплексные числа, действия над ними Аннотация: В лекции указывается на необходимость обобщения понятия числа от натурального до комплексного. Вводятся алгебраическая,

ВАРИАНТ ЗАДАЧА ВЫЧИСЛИТЬ ЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИИ ОТВЕТ ДАТЬ В АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ФОРМЕ: а Arch б РЕШЕНИЕ А БУДЕМ ВЫЧИСЛЯТЬ ARH ПО ФОРМУЛЕ Arch L В ДАННОМ ПРИМЕРЕ ZI, СЛЕДОВАТЕЛЬНО, Arch L± L± ДАЛЕЕ ВОСПОЛЬЗУЕМСЯ

Лекция..3. Неопределенный интеграл Аннотация: Неопределенный интеграл определяется как множество первообразных функций подынтегральной функции. Рассматриваются свойства неопределенного интеграла, приводится

«знак действия» a+(-b)=a-b 1) Зачем вводятся отрицательные числа? «знак количества») Почему над ними совершаются действия по таким-то правилам, а не по другим? Почему при умножении и делении отрицательного

Практическое занятие Аналитические функции Условия Коши-Римана Производная и дифференциал функции комплексной переменной Условия Коши-Римана 3 Геометрический смысл модуля и аргумента производной 4 Конформное

Лекция 2 2.1 Последовательности комплексных чисел Комплексное число a называется пределом последовательности комплексных чисел {z n }, если для любого числа ε > 0 найдется такой номер n 0 n 0 (ε), что

Вариант Задача Вычислить значение функции (ответ дать в алгебраической форме: а cos(; б l(Решение а По формуле тригонометрии cos(cos cos(-s s(Воспользуемся формулами связи между тригонометрическими

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный педагогический университет» Математический факультет Кафедра

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Комсомольский-на-Амуре государственный технический

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ О.Г. Илларионова, И.В. Платонова ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по выполнению практических заданий для студентов II

Понятие комплексного переменного Предел и непрерывность комплексного переменного Пусть дано два множества комплексных чисел D и Δ и каждому числу z D поставлено в соответствие число ω Δ которое обозначается

Комплексный анализ Примеры функций комплексного переменного Никита Александрович Евсеев Физичеcкий факультет Новосибирского государственного университета Китайско-российский институт Хэйлунцзянского университета

ЛЕКЦИЯ N34. Числовые ряды с комплексными членами. Степенные ряды в комплексной области. Аналитические функции. Обратные функции..числовые ряды с комплексными членами.....степенные ряды в комплексной области....

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» К а ф е д

Введение 1 Число записать в алгебраической форме Найти, Re, Im, arg, Arg = 5 + i 3 + i Решение Умножим и разделим число на число, сопряженное к знаменателю: 5 + i 3 + i = 5 + i) 3 i) 3 + i) 3 i) = 15

1 Комплексные функции 1.1 Комплексные числа Напомним, что комплексные числа можно определить как множество упорядоченных пар вещественных чисел C = {(x, y) : x, y R}, z = x + iy, где i мнимая единица (i

Основные понятия 1 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА Комплексным числом называется выражение вида i, где и действительные числа, i мнимая единица, удовлетворяющая условию i 1 Число называется действительной частью комплексного

Лекция 3. Неопределённый интеграл. Первообразная и неопределенный интеграл В дифференциальном исчислении решается задача: по данной функции f() найти ее производную (или дифференциал). Интегральное исчисление

ГЛАВА ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Понятие функции комплексной переменной Непрерывность фкп Определение фкп во многом аналогично определению фдп Говорят что на некотором множестве комплексной

Функции Дифференцирование функций 1 Правила дифференцирования Так как производная функции определяется, как и в действительной области, т.е. в виде предела, то, используя это определение и свойства пределов,

Вариант Задача Вычислить значение функции (ответ дать в алгебраической форме: а Arctg; б (Решение а Вообще Arctg arctg + kπ Найдём другие значения в комплексной + плоскости Будем вычислять Arctg по формуле

Функции нескольких переменных Функции нескольких переменных Экстремум функции нескольких переменных. Нахождение максимального и минимального значения функции в замкнутой области Условный экстремум Комплексные

БАНК ЗАДАЧ для вступительных испытаний в магистратуру (базовая часть) Задания билета, 4 5 Разделы, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 6, 7, 8, 4, 5, 9 Количество баллов 5 б б 5 б Содержание Раздел Производная, частная

Лекция 5 Производные основных элементарных функций Аннотация: Даются физическая и геометрическая интерпретации производной функции одной переменной Рассматриваются примеры дифференцирования функции и правила

Самостоятельная работа Задача Определить вид кривой, заданную параметрически, и изобразить кривую t t t t 5 7 t t б) e e, 0 t π в) t t t 5 Ответы замкнутый луч y, 0, y, обходимый дважды, луч изображен

СА Зотова, ВБ Светличная ПРАКТИЧЕСКОЕ РУКОВОДСТВО ПО ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО МАТЕМАТИКА УДК 5 Рецензенты- дф-мн, проф Горяинов ВВ к ф-мн, доц Кульков ВГ Зотова СА, Светличная ВБ Практическое

7 ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА 7. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ФОРМУЛЫ. Равенства log a b и a b равносильны при a > 0, a, b > 0. log. Основное логарифмическое тождество: a a b b, a > 0,

Производные основных элементарных функций Производная функции может быть найдена по следующей схеме: аргументу х даем приращение для функции y найдем соответсвующее приращение y y составим отношение находим

ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО ИЗДАТЕЛЬСТВО ТГТУ Министерство образования и науки Российской Федерации ГОУ ВПО «Тамбовский государственный технический университет» ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО Методические

Вопросы к экзамену Вопросы для проверки уровня обучаемости «ЗНАТЬ» Основные понятия теории рядов Критерий Коши сходимости числового ряда Необходимый признак сходимости числовых рядов Достаточные признаки

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ухтинский государственный технический университет КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА Методические указания

Комплексный анализ Геометрия комплексных чисел Никита Александрович Евсеев Физичеcкий факультет Новосибирского государственного университета 2015 Комплексный анализ 1 / 31 Числовая прямая R Комплексный

ВАРИАНТ ЗАДАЧА ВЫЧИСЛИТЬ ЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИИ (ОТВЕТ ДАТЬ В АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ФОРМЕ: s(; б а РЕШЕНИЕ А ПО ФОРМУЛЕ ТРИГОНОМЕТРИИ SIN(ISIN OSIOS SINI ВОСПОЛЬЗУЕМСЯ ФОРМУЛАМИ СВЯЗИ МЕЖДУ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМИ И ГИПЕРБОЛИЧЕСКИМИ

Светличная В. Б., Агишева Д. К., Матвеева Т. А., Зотова С. А. Специальные главы математики. Теория функций комплексного переменного Волгоград 0 г. Министерство образования и науки РФ Волжский политехнический

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Теория функций комплексного переменного» Практические задания Задание. Дано число с. Найти с arg с и записать число с в тригонометрической и показательной формах:))))) 8 6) 7) 8) 9)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКИОЙ ФЕДЕРАЦИИ ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО Методическое пособие Составители: МДУлымжиев ЛИИнхеева ИБЮмов СЖЮмова Рецензия На методическое пособие по теории функций

Комплексные числа, функции и действия над ними y модуль R действительная часть действ число, yim мнимая часть действительное число iy алгебраическая форма записи компл числа Главное значение аргумента

Тема: Производная. Краткие теоретические сведения. Таблица производных. (c) 0 (arcsin) () (arccos) (sin) cos (cos) sin (arctg) (tg) cos (arcctg) (ctg) sin v vln u vln u v v (u) (e) e (

Математический анализ Раздел: Теория функций комплексного переменного Тема: Неалгебраические операции на C. Основные элементарные функции в C. Б.б. последовательности комплексных чисел Лектор Янущик О.В.

Тема. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций Элементы теории множеств. Основные понятия Одним из основных понятий современной математики является понятие множества.

Контрольная работа В промежутке между сессиями студенты должны провести самостоятельную подготовку Проработать теоретический материал по лекциям на тему «Функции нескольких переменных» (Материал представлен

МИРЭА. Типовой расчет по математическому анализу Контрольные задания по теме Комплексные числа, ТФКП. Задание 1. Решить уравнения, множество решении изобразить на комплексной плоскости А) 4 i + 81i 0 Б)

ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Преобразование Лапласа и формула обращения Пусть в промежутке Дирихле а именно: Интеграл Фурье (l l) а) ограничена на этом отрезке; функция удовлетворяет условиям б) кусочно-непрерывна

Функции комплексного переменного Аналитические функции По-прежнему, если это не оговорено специально, мы имеем дело с однозначной функцией w = f(z). Определение 1. Функция f(z) называется аналитической

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ АНГАРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ТЕХНИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ Иванова СВ, Евсевлеева ЛГ, Быкова ЛМ, Добрынина НН ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ И ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Учебное пособие

Пусть функция W = f (Z ) задана на некотором множестве иZ 0 , принадлежащая E , предельная точка этого множества. Придадим Z 0 = x 0 + i · y 0 приращение ΔZ = Δx + i · Δy , чтобы точка Z = Z 0 + ΔZ принадлежала множеству Е . Тогда функция W = u + i · v = f (Z ) = u (x , y )+ i · v (x , y ). Получим приращение ΔW = Δu + i · Δv = f (Z 0 + ΔZ ) - f (Z 0 ) = Δf (Z 0 ) ,
.

Если существует конечный предел
, то он называетсяпроизводной функции f (Z ) в точке Z 0 по множеству E , и обозначается
,
,
, W " .

Формально производная функция комплексного переменного определяется точно так же как и производная функции вещественного переменного, но содержание их различно.

В определении производной функции f (x ) вещественной переменной в точке х 0 , x → х 0 вдоль прямой. В случае функции комплексного переменного f (Z ), Z может стремиться к Z 0 по любому пути плоскости, ведущему в точку Z 0 .

Поэтому требование существования производной функции комплексного переменного очень жестко. Этим и объясняется, что даже простые функции комплексного переменного не имеют производной.

Пример.

Рассмотрим функцию W = = x - i · y . Покажем, что эта функция не имеет производной ни в одной точке. Возьмем любую точку Z 0 = x 0 + i · y 0 , придадим ей приращение ΔZ = Δx + i · Δy , тогда функция получит приращение . Значит

,
,

Будем вначале рассматривать ΔZ = Δx + i · Δy такие, что Δx → 0 , а Δy = 0 , т. е. точка Z 0 + ΔZ → Z 0 по горизонтальной прямой. При этом мы получим, что

Будем теперь рассматривать приращение ∆Z такими, что ∆x = 0 , а ∆y → 0 , т.е. когда Z 0 + ∆ Z → Z 0 по вертикальной прямой, при этом очевидно будет
.

Полученные пределы различные, поэтому отношение не имеет предела при∆ Z → 0 , то есть функция
не имеет производной в любой точкеZ 0 .

Выясним смысл производной по множеству. Пусть E – действительная ось, и W = f (Z ) = x , тогда это есть обычная вещественная функция вещественной переменной f (x ) = x и ее производная будет равна 1 (
).

Пусть теперь Е – это вся плоскость (Z) . Покажем, что функция f (Z ) = x в этом случае не имеет производной ни в одной точке. Действительно, в данном случае
.Отсюда видно, что если
а
, то
. Если же
, а
, то
.Следовательно, отношение не имеет предела при
, поэтому функция f (Z ) = x не имеет производной ни в одной точке
.

Отметим, что если рассматривается комплексно-значная функция вещественной переменной , то из определения производной непосредственно вытекает, что
, следовательно,(этопроизводная по вещественной оси).

Формула для приращения функций.

Пусть функция W = f (Z ) имеет в точке Z 0 производную
. Покажем, что имеет место представление(1), где величина
, когда
.

Действительно, по определению производной имеем
, следовательно, величина
, когда
. Поэтому имеет место представление (1) (умножим обе части на
и перенесем
в левую часть).

Лекция №8 Дифференцируемость и дифференциал функции комплексного переменного

Функция W = f (Z ) называется дифференцируемой в точке Z 0 , если в этой точке имеет место представление (2), гдеA – фиксированное комплексное число, а величина
стремится к нулю, когда
.

Если функция W = f (Z ) дифференцируема в точке Z 0 , то главная линейная относительно
ее частьA ·
приращение
в точкеZ 0 называется дифференциалом функции f (Z ) в точке и обозначается
.

Имеет место теорема.

Теорема.

Для того чтобы функция W = f (Z ) была дифференцируема в точке Z 0 , необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную
, при этом всегда оказывается, что в представлении (2)
.

Доказательство .

Необходимость. Пусть функция дифференцируема в точке Z 0 . Покажем, что она имеет в этой точке конечную производную, и что эта производная равна числу А . В силу дифференциации f (Z ) в точке Z 0 имеет место представление (2), значит
(3). Производя здесь предельный переход при
получим, что
, значит
.

Достаточность. Пусть функция f (Z ) имеет в точке Z 0 конечную производную
. Покажем, что имеет место представление (2). В силу существования производной
имеет место представление (1), но это и есть представление (2), в которомA =
. Достаточность установлена.

Как мы знаем, дифференциал , принимая в качестве дифференциала независимой переменнойZ ее приращение
, то есть, полагая
, мы можем записать
и поэтому
(это отношение дифференциалов, а не единый символ).