Максимальное число в десятичной системе счисления. Системы счисления. Системы счисления разных народов
Система счисления – это знаковая система, в которой числа записываются по определенным правилам с помощью символов некоторого алфавита, называемыми цифрами.
Системы счисления делятся на непозиционные и позиционные. Непозиционная система счисления – система счисления, в которой значение цифры не зависит от ее позиции в записи числа. Примеры непозиционных систем счисления : унарная (единичная) система счисления, римская система счисления, алфавитная система счисления. Унарная (единичная) система счисления характеризуется тем, что в ней для записи чисел применяется только один вид знаков – палочка. Каждое число в этой системе счисления обозначалось с помощью строки, составленной из палочек, количество которых равнялось обозначаемому числу. Неудобства такой системы счисления очевидны: это громоздкость записи больших чисел, значение числа сразу не видно, чтобы его получить, нужно сосчитать палочки. В римской системе счисления для обозначения чисел используются заглавные латинские буквы, являющиеся «цифрами» этой системы счисления:
Число в римской системе счисления обозначается набором стоящих подряд «цифр». Число 1974:MCMLXXIV = M+(M-C)+L+(X++X)+(V-I) = 1000+900+50+20+4
Позиционные системы счисления характеризуется тем, что количественное значение цифры зависит от ее позиции в числе. Каждая позиционная система счисления имеет определенный алфавит цифр и основание, равное количеству цифр (знаков в ее алфавите). Наиболее распространенными позиционными системами счисления являются десятичная, двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная. Десятичная система счисления имеет алфавит из десяти цифр: 0, 1, …, 9.Двоичная система счисления имеет алфавит из двух цифр: 0, 1.
Представление различных типов данных в двоичной системе счисления
Для автоматизации работы с данными, относящимися к различным типам, очень важно унифицировать их форму представления - для этого обычно используется прием кодирования, то есть выражение данных одного типа через данные другого типа. Естественные человеческие языки - это не что иное, как системы кодирования понятий для выражения мыслей посредством речи. Система двоичного кодирования основана на представлении данных последовательностью всего двух знаков: 0 и 1. Эти знаки называются двоичными цифрами. Одним битом могут быть выражены два понятия: 0 или 1 (да или нет, черное или белое, истина или ложь и т. п.). Кодирование целых и действительных чисел Целые числа кодируются двоичным кодом достаточно просто - достаточно взять целое число и делить его пополам до тех пор, пока частное не будет равно единице. Совокупность остатков от каждого деления, записанная справа налево вместе с последним частным, и образует двоичный аналог десятичного числа.
11.2 Виды по.
Системное ПО -то программы общего пользования не связаны с конкретным применением ПК и выполняют традиционные функции: планирование и управление задачами, управления вводом-выводом и т.д. Другими словами, системные программы выполняют различные вспомогательные функции, например, создание копий используемой информации, выдачу справочной информации о компьютере, проверку работоспособности устройств компьютера и т.п.
К системному ПО относятся:
операционные системы (эта программа загружается в ОЗУ при включении компьютера)
программы – оболочки (обеспечивают более удобный и наглядный способ общения с компьютером, чем с помощью командной строки DOS, например, Norton Commander)
операционные оболочки – интерфейсные системы, которые используются для создания графических интерфейсов, мультипрограммирования и.т.
Драйверы (программы, предназначенные для управления портами периферийных устройств, обычно загружаются в оперативную память при запуске компьютера)
утилиты (вспомогательные или служебные программы, которые представляют пользователю ряд дополнительных услуг).
Прикладное ПО. Прикладные программы могут использоваться автономно или в составе программных комплексов или пакетов. Прикладное ПО – программы, непосредственно обеспечивающие выполнение необходимых работ на ПК: редактирование текстовых документов, создание рисунков или картинок, создание электронных таблиц и т.д.Пакеты прикладных программ – это система программ, которые по сфере применения делятся на проблемно – ориентированные, пакеты общего назначения и интегрированные пакеты. Современные интегрированные пакеты содержат до пяти функциональных компонентов: тестовый и табличный процессор, СУБД, графический редактор, телекоммуникационные средства.
К прикладному ПО, например, относятся:
Комплект офисных приложений MS OFFICE
Бухгалтерские системы
Финансовые аналитические системы
Интегрированные пакеты делопроизводства
CAD – системы (системы автоматизированного проектирования)
Редакторы HTML или Web – редакторы
Браузеры – средства просмотра Web - страниц
Графические редакторы
Экспертные системы
Инструментальное ПО или системы программирования - это системы для автоматизации разработки новых программ на языке программирования.
В самом общем случае для создания программы на выбранном языке программирования (языке системного программирования) нужно иметь следующие компоненты:
1. Текстовый редактор для создания файла с исходным текстом программы.
2. Компилятор или интерпретатор. Исходный текст с помощью программы-компилятора переводится в промежуточный объектный код. Исходный текст большой программы состоит из нескольких модулей (файлов с исходными текстами). Каждый модуль компилируется в отдельный файл с объектным кодом, которые затем надо объединить в одно целое.
3. Редактор связей или сборщик, который выполняет связывание объектных модулей и формирует на выходе работоспособное приложение – исполнимый код.
Исполнимый код – это законченная программа, которую можно запустить на любом компьютере, где установлена операционная система, для которой эта программа создавалась. Как правило, итоговый файл имеет расширение.ЕХЕ или.СОМ.
4. В последнее время получили распространение визуальный методы программирования (с помощью языков описания сценариев), ориентированные на создание Windows-приложений. Этот процесс автоматизирован в средах быстрого проектирования. При этом используются готовые визуальные компоненты, которые настраиваются с помощью специальных редакторов.
Наиболее популярные редакторы (системы программирования программ с использованием визуальных средств) визуального проектирования:
Borland Delphi - предназначен для решения практически любых задачи прикладного программирования
Borland C++ Builder – это отличное средство для разработки DOS и Windows приложений
Microsoft Visual Basic – это популярный инструмент для создания Windows-программ
Система счисления – это совокупность приёмов и правил изображения чисел цифровыми знаками. Системы счисления делятся на непозиционные и позиционные.
Непозиционная система счисления – это система, в которой значение символа не зависит от его положения в числе. Примером непозиционной системы счисления может служить римская система счисления, в которой цифры обозначаются различными знаками: Ⅰ – 1, Ⅲ – 3, Ⅵ – 6, L – 50 …
Основным недостатком такой системы является большое число различных знаков и сложность выполнения арифметических операций.
Позиционная система счисления – это система, в которой значение символа зависит от его места (позиции) в ряду цифр, изображающих число. Например, в числе 548 первая цифра означает количество сотен, вторая – десятков, третья – единиц. Позиционные системы счисления более удобны для вычислительных операций, поэтому они получили наибольшее распространение.
Позиционные системы счисления характеризуются основанием. Основание (или базис) позиционной системы счисления – это количество знаков или символов, используемых для изображения числа в разрядах данной системы счисления.
Для записи чисел в конкретной системе счисления используется некоторый конечный алфавит, состоящий и цифр: a 1 , a 2 ,…,a n . При этом каждой цифре a 1 в записи числа ставится в соответствие определённый количественный эквивалент: «вес» — S 1 .
Любое число N в позиционной системе счисления можно представить суммой произведений целых однозначных коэффициентов a 1 , взятых из алфавита системы, на последовательные целые степени основания S:
Сокращенная запись числа N S имеет вид:
При этой позиции цифр a 1 в этой записи называются разрядами. Старшие разряды, соответствующие более высоким степеням основания S, располагаются слева, а младшие – справа. Цифры a 1 в любом i-ом разряде могут принимать S различных значений, при этом всегда a i В ЭВМ приняты десятичная, двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная системы счисления. Десятичная система счисления – основание S=10. Набор цифр этой системы 0, 1, 2, …, 9. Любое целое число в десятичной системе счисления записывается как сумма величин: 10 0 , 10 1 , 10 2 , …, каждая из которых может быть взята от 1 до 9 раз. Например, число 8765.31 представляет собой сокращенную запись выражения: Для физического представления чисел необходимы элементы, способные находиться в одном из нескольких устойчивых состояний. Число этих состояний должно быть равно основанию принятой системы счисления. Тогда каждое состояние будет представлять соответствующую цифру из алфавита данной системы счисления. Наиболее простыми с точки зрения технической реализации являются, так называемые, двухпозиционные элементы, способные находиться в одном из двух устойчивых состояний. Например, реле – замкнуто или разомкнуто, транзистор – заперт или открыт. Одно из этих устойчивых состояний может представлять цифру 0 или – 1. Простота технической реализации двухпозиционных элементов обеспечило наибольшее распространение в ЭВМ двоичной системы. Двоичная система счисления – основание S=2. Для записи числа используются две цифры: 0 и 1. При этом каждый старший разряд больше соседнего младшего в два раза. Любое число в двоичной системе счисления представляется в виде суммы целых степеней основания S=2, умноженных на соответствующие коэффициенты (0 или 1). Например, двоичное число Кроме двоичной системы счисления, в ЭВМ используется восьмеричная и шестнадцатеричная системы. Основания этих систем соответствуют целым степеням числа 2 (8=2 3 , 16=2 4), поэтому для них исключительно просты правила перевода в двоичную систему и наоборот. Восьмеричная система счисления – основание S=8. Используются цифры: 0, 1, 2, …, 7. Любое число представляется суммой целых степеней основания S=8, умноженных на соответствующие коэффициенты a i =0, …, 7. Например, Шестнадцатеричная система счисления – основание S=16. Алфавит цифровых знаков состоит из 16-ти символов: первые десять – арабские цифры от 0 до 9 и дополнительные – A(10), B(11), C(12), D(13), E(14), F(15). Например, В табл. 1 представлена запись чисел от 0 до 16 в двоичной, восьмеричной, и шестнадцатеричной системах счисления. Таблица 1.
В некоторых ЭВМ ввод и вывод информации осуществляется в смешанных (двоично-кодированных) системах счисления, имеющих основание S>2, в которых каждая цифра числа представляется в двоичной системе. Наибольшее применение в ЭВМ получили восьмеричная, десятичная и шестнадцатеричная двоично-кодированные системы счисления. Двоично-восьмеричная система счисления. В этой системе каждая восьмеричная цифра представляется трехзначным двоичным числом – триадой. Например, = 001 011 111, 100 101 2-8. Двоично-десятичная система счисления. В этой системе каждая десятичная цифра представляет четырёхзначным двоичным числом – тетрадой. Например, 273,59 10 = 0010 0111 0011, 0101 1001 2-10. Двоично-шестнадцатеричная система счисления. В этой системе (как и в двоично-десятичной) каждая шестнадцатеричная цифра представляется четырехзначным двоичным числом (тетрадой). Например, 39C 16 =0011 1001 1100 2-16 При работе со смешанными системами счисления справедливо следующее утверждение: если P=S k (где P,S – основания систем, k – положительные целые числа), то запись любого числа в смешанной S-P системе счисления тождественно совпадает с записью этого же числа в системе счисления с основанием S с точностью до нулей в начале записи целой части числа и в конце дробной. Согласно этому утверждению, если P=8, S=2, k=3, то запись любого числа в двоично-восьмеричной системе совпадает с записью этого же числа в двоичной системе. Например: число 68 8 в двоично-восьмеричной системе будет 62 8 =110 010 2-8 ; 6 2 это же число в десятичной системе будет; если теперь число 50 10 представить в двоичной системе, получим 50 10 =110 010 2 . Таким образом, двоичная и двоично-восьмеричная запись одного итого же числа (62 8) совпадает. Если число X из системы счисления с основанием s необходимо перевести в систему счисления с основанием p, перевод осуществляется по следующим правилам: Правило 1.
При равенстве p=s k , где k – целое положительное число (например, p=8=2 3 , k=3, s=2), в этом случае: Например, Правило
2.
При не выполнении равенства p=s k (где k – целое положительное число), в этом случае: Таким образом, 26 10 = 11010 2 . Таким образом, 191 10 = 277 8 . Например, число 0,31 10 перевести в двоичную систему счисления: При переводе чисел в 10-тичную систему счисления пользуются разложением числа по степеням оснований системы счисления. | § 1.1. Системы счисления
Ключевые слова:
Система счисления
Система счисления - это знаковая система, в которой приняты определённые правила записи чисел
. Знаки, с помощью которых записываются числа (рис. 1.1), называются цифрами
, а их совокупность - алфавитом системы счисления
. Рис. 1.1. Знаки, используемые для записи чисел в различных системах счисления
В любой системе счисления цифры служат для обозначения чисел, называемых узловыми; остальные числа (алгоритмические) получаются в результате каких-либо операций из узловых чисел. Пример 1
. У вавилонян узловыми являлись числа 1, 10, 60; в римской системе счисления узловые числа - это 1, 5, 10, 50, 100, 500 и 1000, обозначаемые соответственно I, V, X, L, С, D, М. Системы счисления различаются выбором узловых чисел и способами образования алгоритмических чисел. Можно выделить следующие виды систем счисления: 1) унарная система;
Простейшая и самая древняя система - так называемая унарная система счисления
. В ней для записи любых чисел используется всего один символ - палочка, узелок, зарубка, камушек. Длина записи числа при таком кодировании прямо связана с его величиной, что роднит этот способ с геометрическим представлением чисел в виде отрезков. Именно унарная система лежит в фундаменте арифметики, и именно она до сих пор вводит первоклассников в мир счёта. Унарную систему ещё называют системой бирок. Система счисления называется непозиционной, если количественный эквивалент (количественное значение) цифры в числе не зависит от её положения в записи числа
. В большинстве непозиционных систем счисления числа образуются путём сложения узловых чисел. Пример 2
. В древнеегипетской
системе счисления числа 1, 2, 3, 4, 10, 13, 40 обозначались соответственно следующим образом: Те же числа в римской
системе счисления обозначаются так: I, II, III, IV, X, XIII, XL. Здесь алгоритмические числа получаются путём сложения и вычитания узловых чисел с учётом следующего правила: каждый меньший знак, поставленный справа от большего, прибавляется к его значению, а каждый меньший знак, поставленный слева от большего, вычитается из него. Система счисления называется позиционной, если количественный эквивалент цифры зависит от её положения (позиции) в записи числа
. Основание позиционной системы счисления равно количеству цифр, составляющих её алфавит. Десятичная система записи чисел
, которой мы привыкли пользоваться в повседневной жизни, с которой мы знакомы с детства, в которой производим все наши вычисления, - пример позиционной системы счисления
. Алфавит десятичной системы составляют цифры О, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Алгоритмические числа образуются в ней следующим образом: значения цифр умножаются на «веса» соответствующих разрядов, и все полученные значения складываются. Это отчётливо прослеживается в числительных русского языка, например: «три-ста пять-десят семь
». Основанием позиционной системы счисления может служить любое натуральное число q > 1
. Алфавитом произвольной позиционной системы счисления с основанием q служат числа О, 1, ..., q-1, каждое из которых может быть записано с помощью одного уникального символа; младшей цифрой всегда является О. Основные достоинства любой позиционной системы счисления - простота выполнения арифметических операций и ограниченное количество символов, необходимых для записи любых чисел. Здесь:
А - число;
Запись числа по формуле (1) называется развёрнутой формой записи. Свёрнутой формой записи числа называется его представление в виде 1
Пример 3
. Рассмотрим десятичное число 14351,1. Его свёрнутая форма записи настолько привычна, что мы не замечаем, как в уме переходим к развёрнутой записи, умножая цифры числа на «веса» разрядов и складывая полученные произведения: Двоичной системой счисления называется позиционная система счисления с основанием 2. Для записи чисел в двоичной системе счисления используются только две цифры: 0 и 1.
На основании формулы (1) для целых двоичных чисел можно записать: Например:
Такая форма записи «подсказывает» правило перевода натуральных двоичных чисел в десятичную систему счисления: необходимо вычислить сумму степеней двойки, соответствующих единицам в свёрнутой форме записи двоичного числа. Получим правило перевода целых десятичных чисел в двоичную систему счисления из формулы (1"). Разделим на 2. Частное будет равно , а остаток будет равен a 0 . Полученное частное опять разделим на 2, остаток от деления будет равен a 1 . Если продолжить этот процесс деления, то на n-m шаге получим набор цифр: которые входят в двоичное представление исходного числа и совпадают с остатками при его последовательном делении на 2. Таким образом, для перевода целого десятичного числа в двоичную систему счисления нужно последовательно выполнять деление данного числа и получаемых целых частных на 2 до тех пор, пока не получим частное, равное нулю. Исходное число в двоичной системе счисления составляется последовательной записью полученных остатков, начиная с последнего. Пример 4. Переведём десятичное число 11 в двоичную систему счисления. Рассмотренную выше последовательность действий (алгоритм перевода) можно изобразить так: Выписывая остатки от деления в направлении, указанном стрелкой, получим: 11 10 = 1011 2 . Пример 5
. Если десятичное число достаточно большое, то более удобен следующий способ записи рассмотренного выше алгоритма: 363 10 = 101101011 2
Восьмеричной системой счисления называется позиционная система счисления с основанием 8
. Для записи чисел в восьмеричной системе счисления используются цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. На основании формулы (1) для целого восьмеричного числа можно записать: Например: 1063
8
= 1 8
3
+ 0 8
2
+ 6 8
1
+ 3 8
0
= 563
10
. Таким образом, для перевода целого восьмеричного числа в десятичную систему счисления следует перейти к его развёрнутой записи и вычислить значение получившегося выражения. Для перевода целого десятичного числа в восьмеричную систему счисления следует последовательно выполнять деление данного числа и получаемых целых частных на 8 до тех пор, пока не получим частное, равное нулю. Исходное число в новой системе счисления составляется последовательной записью полученных остатков, начиная с последнего. Пример 6
. Переведём десятичное число 103 в восьмеричную систему счисления. 103 10 = 147 8
Основание: q = 16. Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, В, С, D, Е, F
. Здесь только десять цифр из шестнадцати имеют общепринятое обозначение 0,..., 9. Для записи цифр с десятичными количественными эквивалентами 10, 11, 12, 13, 14, 15 обычно используются первые пять букв латинского алфавита. Таким образом, запись 3AF 16
означает: Пример 7
. Переведём десятичное число 154 в шестнадцатеричную систему счисления. 154 10 = 9А 16
Для перевода целого десятичного числа в систему счисления с основанием g следует: 1) последовательно выполнять деление данного числа и получаемых целых частных на основание новой системы счисления до тех пор, пока не получим частное, равное нулю;
Представим таблицу соответствия десятичных, двоичных, восьмеричных и шестнадцатеричных чисел от О до 20 10 . В Единой коллекции цифровых образовательных ресурсов (http://sc.edu.ru/) размещена интерактивная анимация «Преобразование десятичного числа в другую систему счисления» (135050). С её помощью можно понаблюдать за переводом произвольного целого числа от 0 до 512 в позиционную систему счисления, основание которой не превышает 16. В размещённой там же виртуальной лаборатории «Цифровые весы» (135009) вы сможете освоить ещё один способ перевода целых десятичных чисел в другие системы счисления - метод разностей.
Арифметика двоичной системы счисления основывается на ис-пользовании следующих таблиц сложения и умножения: Пример 8
. Таблица двоичного сложения предельно проста. Так как 1 + 1 = 10, то 0 остаётся в младшем разряде, а 1 переносится в старший разряд. Пример 9
. Операция умножения двоичных чисел выполняется по обычной схеме, применяемой в десятичной системе счисления, с последовательным умножением множимого на очередную цифру множителя. Таким образом, в двоичной системе счисления умножение сводится к сдвигам множимого и сложениям.
В компьютерной технике используется двоичная система счисления, обеспечивающая ряд преимуществ по сравнению с другими системами счисления:
Двоичные числа представляются в компьютере с помощью достаточно простых технических элементов с двумя устойчивыми состояниями;
Обмен информацией между компьютерными устройствами осуществляется путём передачи двоичных кодов. Пользоваться такими кодами из-за их большой длины и зрительной однородности человеку неудобно. Поэтому специалисты (программисты, инженеры) на некоторых этапах разработки, создания, настройки вычислительных систем заменяют двоичные коды на эквивалентные им величины в восьмеричной или шестнадцатеричной системах счисления. В результате длина исходного слова сокращается в три, четыре раза соответственно. Это делает информацию более удобной для рассмотрения и анализа. С помощью ресурса «Интерактивный задачник, раздел “Системы счисления”» (128659), размещённого в Единой коллекции цифровых образовательных ресурсов, можно проверить, насколько прочно вы усвоили изученный в этом параграфе материал.
Система счисления - это знаковая система, в которой приняты определённые правила записи чисел. Знаки, с помощью которых записываются числа, называются цифрами, а их совокупность - алфавитом системы счисления. Система счисления называется позиционной, если количествен-ный эквивалент цифры зависит от её положения (позиции) в записи числа. Основание позиционной системы счисления равно количеству цифр, составляющих её алфавит. Основанием позиционной системы счисления может служить любое натуральное число q > 1. В позиционной системе счисления с основанием q любое число может быть представлено в виде: Здесь:
А - число;
1. Ознакомьтесь с материалами презентации к параграфу, содержащейся в электронном приложении к учебнику. Что вы можете сказать о формах представления информации в презентации и в учебнике? Какими слайдами вы могли бы дополнить презентацию? 2. Найдите дополнительную информацию об унарной, позиционных и непозиционных системах счисления. Чем они различаются? Приведите примеры. 3. Цифры каких систем счисления приведены на рис. 1.1? 4. Объясните, почему позиционные системы счисления с основаниями 5, 10, 12 и 20 называют системами счисления анатомического происхождения. 5. Как от свёрнутой формы записи десятичного числа перейти к его развёрнутой форме? 6. Запишите в развёрнутой форме числа: а) 143,511 10 ;
7. Вычислите десятичные эквиваленты следующих чисел: а) 172 8 ;
8. Укажите, какое из чисел 110011 2 , 111 4 , 35 8 и 1В 16 является: а) наибольшим;
9. Какое минимальное основание имеет система счисления, если в ней записаны числа 123, 222, 111, 241? Определите десятичный эквивалент данных чисел в найденной системе счисления. 10. Верны ли следующие равенства? а) 33 4 = 21 7 ;
11. Найдите основание х системы счисления, если: а) 14 x = 9 10 ;
12. Переведите целые числа из десятичной системы счисления в двоичную: а) 89;
13. Переведите целые числа из десятичной системы счисления в восьмеричную: а) 513;
14. Переведите целые числа из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную: а) 513;
15. Заполните таблицу, в каждой строке которой одно и то же число должно быть записано в системах счисления с основаниями 2, 8, 10 и 16. Существуют
позиционные и непозиционные системы
счисления. В
непозиционных системах счисления
вес цифры (т. е. тот вклад, который она
вносит в значение числа) не
зависит от ее позиции
в
записи числа. Так, в римской системе
счисления в числе ХХХII (тридцать два)
вес цифры Х в любой позиции равен просто
десяти. В
позиционных системах счисления
вес каждой цифры изменяется в зависимости
от ее положения (позиции) в последовательности
цифр, изображающих число. Например, в
числе 757,7 первая семерка означает 7
сотен, вторая - 7 единиц, а третья - 7
десятых долей единицы. Сама
же запись числа 757,7 означает сокращенную
запись выражения 700
+ 50 + 7 + 0,7 = 7
.
10 2
+ 5
.
10 1
+ 7
.
10 0
+ 7
.
10 -1
= 757,7. Любая
позиционная система счисления
характеризуется своим основанием.
За
основание системы можно принять любое
натуральное число - два, три, четыре и
т.д. Следовательно, возможно
бесчисленное множество позиционных
систем
:
двоичная, троичная, четверичная и т.д.
Запись чисел в каждой из систем счисления
с основанием q
означает сокращенную запись выражения a
n-1
q
n-1
+ a
n-2
q
n-2
+ ... + a
1
q
1
+ a
0
q
0
+ a
-1
q
-1
+ ...
+
a
-m
q
-m
,
где
a
i
- цифры системы счисления; n
и m
- число целых и дробных разрядов,
соответственно.
Например: Кроме
десятичной широко используются системы
с основанием, являющимся целой степенью
числа 2, а именно: двоичная
(используются цифры 0, 1); восьмеричная
(используются цифры 0, 1, ..., 7); шестнадцатеричная
(для первых целых чисел от нуля до девяти
используются цифры 0, 1, ..., 9, а для
следующих чисел - от десяти до пятнадцати
- в качестве цифр используются символы
A, B, C, D, E, F). Полезно
запомнить запись в этих системах
счисления первых двух десятков целых
чисел: Из
всех систем счисления особенно
проста
и поэтому интересна
для технической реализации в компьютерах
двоичная система счисления
. Система счисления: Системы счисления подразделяются на позиционные
, непозиционные
и смешанные
. В позиционных системах счисления один и тот же числовой знак (цифра) в записи числа имеет различные значения в зависимости от того места (разряда), где он расположен. Изобретение позиционной нумерации, основанной на поместном значении цифр, приписывается шумерам и вавилонянам ; развита была такая нумерация индусами и имела неоценимые последствия в истории человеческой цивилизации. К числу таких систем относится современная десятичная система счисления , возникновение которой связано со счётом на пальцах. В средневековой Европе она появилась через итальянских купцов, в свою очередь заимствовавших её у мусульман. Под позиционной системой счисления обычно понимается -ричная система счисления, которая определяется целым числом , называемым основанием
системы счисления. Целое число без знака в -ричной системе счисления представляется в виде конечной линейной комбинации степеней числа : Каждая степень в такой записи называется весовым коэффициентом разряда . Старшинство разрядов и соответствующих им цифр определяется значением показателя (номером разряда). Обычно, в ненулевых числах , левые нули опускаются. Если не возникает разночтений (например, когда все цифры представляются в виде уникальных письменных знаков), число записывают в виде последовательности его -ричных цифр, перечисляемых по убыванию старшинства разрядов слева направо: Например, число сто три
представляется в десятичной системе счисления в виде: Наиболее употребляемыми в настоящее время позиционными системами являются: В позиционных системах чем больше основание системы, тем меньшее количество разрядов (то есть записываемых цифр) требуется при записи числа. Смешанная система счисления
является обобщением -ричной системы счисления и также зачастую относится к позиционным системам счисления. Основанием смешанной системы счисления является возрастающая последовательность чисел , и каждое число в ней представляется как линейная комбинация : Записью числа в смешанной системе счисления называется перечисление его цифр в порядке уменьшения индекса , начиная с первого ненулевого. В зависимости от вида как функции от смешанные системы счисления могут быть степенными , показательными и т. п. Когда для некоторого , смешанная система счисления совпадает с показательной -ричной системой счисления. Наиболее известным примером смешанной системы счисления является представление времени в виде количества суток, часов, минут и секунд. При этом величина « дней, часов, минут, секунд» соответствует значению секунд. В факториальной системе счисления
основаниями являются последовательность факториалов , и каждое натуральное число представляется в виде: Факториальная система счисления используется при декодировании перестановок списками инверсий
: имея номер перестановки, можно воспроизвести её саму следующим образом: число, на единицу меньшее номера (нумерация начинается с нуля) записывается в факториальной системе счисления, при этом коэффициент при числе i! будет обозначать число инверсий для элемента i+1 в том множестве, в котором производятся перестановки (число элементов меньших i+1, но стоящих правее его в искомой перестановке) Пример: рассмотрим множество перестановок из 5 элементов, всего их 5! = 120 (от перестановки с номером 0 - (1,2,3,4,5) до перестановки с номером 119 - (5,4,3,2,1)), найдём 101-ую перестановку: 100 = 4!*4 + 3!*0 + 2!*2 + 1!*0 = 96 + 4; положим ti - коэффициент при числе i!, тогда t4 = 4, t3 = 0, t2 = 2, t1 = 0 , тогда: число элементов меньших 5, но стоящих правее равно 4; число элементов меньших 4, но стоящих правее равно 0; число элементов меньших 3, но стоящих правее равно 2; число элементов меньших 2, но стоящих правее равно 0 (последний элемент в перестановке «ставится» на единственное оставшееся место) - таким образом, 101-я перестановка будет иметь вид: (5,3,1,2,4) Проверка данного метода может быть осуществлена путём непосредственного подсчёта инверсий для каждого элемента перестановки. Фибоначчиева система счисления
основывается на числах Фибоначчи . Каждое натуральное число в ней представляется в виде: В непозиционных системах счисления величина, которую обозначает цифра, не зависит от положения в числе. При этом система может накладывать ограничения на положение цифр, например, чтобы они были расположены в порядке убывания. Представление, использующее биномиальные коэффициенты Представление числа в системе остаточных классов основано на понятии вычета и китайской теореме об остатках . СОК определяется набором взаимно простых модулей
с произведением так, что каждому целому числу из отрезка ставится в соответствие набор вычетов , где При этом китайская теорема об остатках гарантирует однозначность представления для чисел из отрезка . В СОК арифметические операции (сложение, вычитание, умножение, деление) выполняются покомпонентно, если про результат известно, что он является целочисленным и также лежит в . Недостатками СОК является возможность представления только ограниченного количества чисел, а также отсутствие эффективных алгоритмов для сравнения чисел, представленых в СОК. Сравнение обычно осуществляется через перевод аргументов из СОК в смешанную систему счисления по основаниям . Система счисления Штерна–Броко
- способ записи положительных рациональных чисел, основанный на дереве Штерна–Броко . По-видимому, хронологически первая система счисления каждого народа, овладевшего счётом. Натуральное число изображается путём повторения одного и того же знака (чёрточки или точки). Например, чтобы изобразить число 26, нужно провести 26 чёрточек (или сделать 26 засечек на кости, камне и т.д.). Впоследствии, ради удобства восприятия больших чисел, эти знаки группируются по три или по пять. Затем равнообъёмные группы знаков начинают заменяться каким-либо новым знаком - так возникают прообразы будущих цифр. Алфавитными системами счисления пользовались древние армяне, грузины, греки (ионическая система счисления), арабы (абджадия), евреи (см. гематрия) и другие народы Ближнего Востока. В славянских богослужебных книгах греческая алфавитная система была переведена на буквы кириллицы. Каноническим примером почти непозиционной системы счисления является римская, в которой в качестве цифр используются латинские буквы: Например, II = 1 + 1 = 2 На самом деле, римская система не является полностью непозиционной, так как меньшая цифра, идущая перед большей, вычитается из неё, например: IV = 4, в то время как: Wikimedia Foundation
.
2010
.
Способ отображения чисел и правила действий над ними. Различают позиционные и непозиционные системы счисления. См. также: Системы счисления Данные Финансовый словарь Финам … Финансовый словарь
СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ
- (1) пути система непрерывного автоматического (или вручную штурманом) учёта фактического перемещения летательного аппарата, корабля млн. управляемых средств поражения под воздействием собственных движителей и внешних факторов (ветра, воздушных и… … Большая политехническая энциклопедия
система счисления
- — Тематики электросвязь, основные понятия EN number system … система счисления
- ▲ код множество, целое число система счисления система обозначения для представления чисел; способ записи чисел; кодировка чисел. цифра знак, обозначающий целое число. цифирь (устар). римские цифры. арабские цифры: ноль. один. два. три. четыре … Идеографический словарь русского языка
Система счисления
- совокупность символов и правил написания чисел (см., например, Римские цифры). В практике людей наибольшее распространение получила десятичная система счисления. В вычислительной (компьютерной) технике применяются также двоичная, восьмиричная и… … Начала современного естествознания
система счисления
- skaičių sistema statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. number representation system; number system; numbering system; numeral system; numeration system; numerical system; scale vok. Zahlendarstellungssystem, n; Zahlensystem, n rus.… … Automatikos terminų žodynas
система счисления остаточных классов
- система счисления в остатках — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом Синонимы система счисления в остатках EN residue (number) system … Справочник технического переводчика
система счисления с отрицательным основанием
- — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN negative base number representation system … Справочник технического переводчика
десятичная
двоичная
восьмеричная
шестнадцатеричная
0
0000
0
0
1
0001
1
1
2
0010
2
2
3
0011
3
3
4
0100
4
4
5
0101
5
5
6
0110
6
6
7
0111
7
7
8
1000
10
8
9
1001
11
9
10
1010
12
A
11
1011
13
B
12
1100
14
C
13
1101
15
D
14
1110
16
E
15
1111
17
F
16
10000
20
10
старший разряд
Уроки 2 - 5
§ 1.1. Системы счисления
цифра
алфавит
позиционная система счисления
основание
развёрнутая форма записи числа
свёрнутая форма записи числа
двоичная система счисления
восьмеричная система счисления
шестнадцатеричная система счисления
1.1.1. Общие сведения о системах счисления
2) непозиционные системы;
3) позиционные системы.
q i - «вес» i-то разряда.1.1.2. Двоичная система счисления
1.1.3. Восьмеричная система счисления
1.1.4. Шестнадцатеричная система счисления
1.1.5. Правило перевода целых десятичных чисел в систему счисления с основанием q
2) полученные остатки, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления;
3) составить число в новой системе счисления, записывая его, начиная с последнего полученного остатка.
1.1.6. Двоичная арифметика
1.1.7. «Компьютерные» системы счисления
представление информации посредством только двух состояний надёжно и помехоустойчиво;
двоичная арифметика наиболее проста;
существует математический аппарат, обеспечивающий логические преобразования двоичных данных.САМОЕ ГЛАВНОЕ
q - основание системы счисления;
a i - цифры, принадлежащие алфавиту данной системы счисления;
n - количество целых разрядов числа;
m - количество дробных разрядов числа;
q i - «вес» i-то разряда.Вопросы и задания
б) 143511 8 ;
в) 143511 16 ;
г) 1435,11 8
б) 2ЕА 16 ;
в) 101010 2 ;
г) 10,1 2 ;
д) 243 6 .
б) наименьшим.
б) 33 8 = 21 4 .
б) 2002 x . = 130 10 .
б) 600;
в) 2010.
б) 600;
в) 2010.
б) 600;
в) 2010.
Какие системы счисления используют специалисты для общения с компьютером?
Список систем счисления
Позиционные системы счисления
Смешанные системы счисления
Факториальная система счисления
Непозиционные системы счисления
Биномиальная система счисления
Система остаточных классов (СОК)
Системы счисления разных народов
Единичная система счисления
Древнеегипетская система счисления
Вавилонская система счисления
Алфавитные системы счисления
Еврейская система счисления
Греческая система счисления
Римская система счисления
I обозначает 1,
V - 5,
X - 10,
L - 50,
C - 100,
D - 500,
M - 1000
здесь символ I обозначает 1 независимо от места в числе.
VI = 6Система счисления майя
См. также
Примечания
Ссылки
Смотреть что такое "Система счисления" в других словарях:
