Две и три проекции точки. Урок черчения "прямоугольное проецирование на три взаимоперпендикулярные плоскости проекций". Вопросы для самопроверки
По одному изображению оригинала (рис.8) нельзя судить о его форме, размерах и положении в пространстве.
Обратимость чертежа - восстановление оригинала по его проекционным изображениям, может быть обеспечена проецированием на две (три) непараллельные плоскости проекций.
Для удобства проецирования выбирают две (три) взаимно перпендикулярные плоскости проекций (рис.9).
П 1 – горизонтальная плоскость проекций.
П 2 – фронтальная плоскость проекций.
П 3 – профильная плоскость проекций.
Линии пересечения плоскостей проекций образуют оси координат. Ось Х – называют осью абсцисс, ось Y – осью ординат и ось Z – осью аппликат.
Координатные плоскости делят пространство на восемь частей – октантов. В (табл.1) представлены знаки координат для четырех октантов (четвертей).
Таблица 1.
|
четверти |
Знаки координат |
||
Точка А принадлежит первой четверти. Из данной точки проводят три проецирующих луча к плоскостям проекций П 1 , П 2 , П 3. В результате получают три проекции точки (рис.10).
А 1 – горизонтальная проекция точки А.
А 2 – фронтальная проекция точки А.
А 3 – профильная проекция точки А.
Положение точки А в пространстве определяется тремя координатами А (X , Y , Z ), показывающими величины расстояний, на которые точка удалена от плоскостей проекций.
Расстояние от точки А до плоскости проекций П 3 определяется абсциссой X:
АА 3 = А X 0 =X
Расстояние от точки А до плоскости проекций П 2 определяется ординатой Y:
АА 2 = А 1 А X =Y
Расстояние от точки А до плоскости проекций П 1 определяется аппликатой Z:
АА 1 = А Z 0= Z
1.4 Комплексный чертеж точки (эпюр монжа)
Пользоваться пространственной моделью (рис.10) для отображения ортогональных проекций геометрических фигур неудобно ввиду ее громоздкости, а также из-за того, что на плоскостях проекций происходит искажение формы и размеров проецируемой фигуры.
Поэтому преобразуют пространственную модель к плоскостному виду - комплексному чертежу.
Комплексным чертежом называется изображение геометрического объекта в двух (трех) проекциях на совмещенных плоскостях проекций.
Для этого, поворачивают плоскость П 1 на 90 0 вокруг оси Х в направлении движения часовой стрелки, до совмещения с фронтальной плоскостью проекций (рис. 11).
Плоскость П 3 поворачивают на 90 0 против часовой стрелки вокруг оси Z, до совмещения с фронтальной плоскостью проекций (рис.12).
Горизонтальная и фронтальная проекции точки лежат на одной линии, перпендикулярной к оси Х, называемой вертикальной линией связи.
Фронтальная и профильная проекции точки лежат на горизонтальной линии связи, перпендикулярной к оcи Z.
Для того чтобы построить комплексный чертеж точки А (рис.13) по координатам X,Y и Z, необходимо выполнить алгоритм.
А 1 – горизонтальная проекция точки A : А 1 = АА 1 Ç П 1 . Горизонтально-проецирующая прямая АА 1 перпендикулярна П 1 . Отрезок AA 1 определяет координату z точки А , т.е. ее высоту.
А 2 – фронтальная проекция точки A : А 2 = АА 2 Ç П 2 . Фронтально-проецирующаяпрямая АА 2 перпендикулярна П 2 . Отрезок AA 2 определяет координату у точки А , т.е. ее глубину.
А 3 – профильная проекция точки A : А 3 = АА 3 Ç П 3 . Прямая АА 3 перпендикулярна П 3 , она называется профильно-проецирующей прямой . Отрезок AA 3 определяет координату х точки А , т.е. ее широту.
Для того, чтобы получить трехкартинный комплексный чертеж после проецирования точки одновременно осуществляют два вращения (Рис. 8 a ):
· плоскость П 1 вращается вокруг оси х 12 по часовой стрелке на 90° до совмещения ее с плоскостью П 2 , что полностью соответствует аналогичному вращению при получении двухкартинного комплексного чертежа;
· плоскость П 3 вращается вокруг оси z 23 против часовой стрелки на 90°, если смотреть с конца оси z 23 , до совмещения ее с плоскостью П 2 .
| а б |
| Рисунок 8 |
На рис. 8 бпоказан полученный таким образом трехкартинный комплексный чертеж точки А .
Очевидно, что разворот двух плоскостей П 1 и П 3 не возможен без дублирования оси y 13 . Одна из осей y 1 будет участвовать в повороте плоскости П 1 , а вторая y 3 – П 3 . Но эта условность должна обеспечивать одинаковую величину глубины точки, т.е. у 1 =у 3 . Одним из графических методов, обеспечивающих эту возможность, является способ, показанный на рис. 8 б .
Под углом 45° к оси у 3 проведем прямую к 13 , называемую постоянной прямой комплексного чертежа . Линию связи, соединяющую горизонтальную проекцию А 1 с профильной А 3 , будем преломлять под прямым углом на этой прямой. Горизонтальный участок А 1 y А ^ у 1 , а вертикальный А 3 y А ^ у 3 .
По аналогии с двухкартинным чертежом можно доказать, что линии связи проекций точек будут перпендикулярны соответствующим осям, т.е. A 1 A 2 ^ х 12 , A 2 A 3 ^ z 23 .
На рис. 8 б: А 1 А 2 ‑ вертикальная линия связи;
А 2 А 3 ‑ горизонтальная линия связи;
А 1 y A и y A А 3 ‑ ломаная линия связи;
Ox А = y А А 1 = z А А 2 = х ‑ широта точки А .
Oy А = x А А 1 = z А А 3 = y ‑ глубина точки А ;
Oz А = x А А 2 = y А А 3 = z ‑ высота точки А ;
Замечание : так как плоскости не имеют границ, в совмещенном положении (на эпюре) границы их не показывают. Оси проекций фиксируют положение плоскостей проекций. Часто практически гораздо важнее установить взаимное расположение элементов оригинала (т. е. изображаемого предмета) и их форму, чем расстояния до плоскостей проекций. Поэтому, при выполнении чертежей в этих случаях оси проекций могут не изображаться или изображаться частично, подразумевая, однако, что проецирование ведется ортогональное на две или три взаимно-перпендикулярные плоскости. Линии связи при этом изображаются обязательно. Если по какой-либо причине на чертеже требуется восстановить опущенные оси проекций, то их можно провести, ориентируясь на линии связи проекций точки так, что бы х 12 ^ A 1 A 2 , z 23 ^. A 2 A 3 , а начало координат располагалось на постоянной прямой к 13 .
Аппарат проецирования
Аппарат проецирования (рис. 1) включает в себя три плоскости проекций:
π 1 – горизонтальная плоскость проекций;
π 2 – фронтальная плоскость проекций;
π 3 – профильная плоскость проекций.
Плоскости проекций располагаются взаимно перпендикулярно (π 1 ^ π 2 ^ π 3 ), а их линии пересечения образуют оси:
Пересечение плоскостей π 1 и π 2 образуют ось 0Х (π 1 ∩ π 2 = 0Х );
Пересечение плоскостей π 1 и π 3 образуют ось 0Y (π 1 ∩ π 3 = 0Y );
Пересечение плоскостей π 2 и π 3 образуют ось 0Z (π 2 ∩ π 3 = 0Z ).
Точка пересечения осей (ОХ∩OY∩OZ=0), считается точкой начала отсчета (точка 0).
Так как плоскости и оси взаимно перпендикулярны, то такой аппарат аналогичен декартовой системе координат.
Плоскости проекций все пространство делят на восемь октантов (на рис. 1 они обозначены римскими цифрами). Плоскости проекций считаются непрозрачными, а зритель всегда находится в I -ом октанте.
Проецирование ортогональное с центрами проецирования S 1 , S 2 и S 3 соответственно для горизонтальной, фронтальной и профильной плоскостей проекций.
А .
Из центров проецирования S 1 , S 2 и S 3 выходят проецирующие лучи l 1 , l 2 и l 3 А
- А 1 А ;
- А 2 – фронтальная проекция точки А ;
- А 3 – профильная проекция точки А .
Точка в пространстве характеризуется своими координатами A (x,y,z ). Точки A x , A y и A z соответственно на осях 0X , 0Y и 0Z показывают координаты x, y и z точки А . На рис. 1 даны все необходимые обозначения и показаны связи между точкой А пространства, её проекциями и координатами.
Эпюр точки
Чтобы получить эпюр точки А (рис. 2), в аппарате проецирования (рис. 1) плоскость π 1 А 1 0Х π 2 . Затем плоскость π 3 с проекцией точки А 3 , вращают против часовой стрелки вокруг оси 0Z , до совмещения её с плоскостью π 2 . Направление поворотов плоскостей π 2 и π 3 показано на рис. 1 стрелками. При этом прямые А 1 А х и А 2 А х 0Х перпендикуляре А 1 А 2 , а прямые А 2 А х и А 3 А х станут располагаться на общем к оси 0Z перпендикуляре А 2 А 3 . Эти прямые в дальнейшем будем называть соответственно вертикальной и горизонтальной линиями связей.
Следует отметить, что при переходе от аппарата проецирования к эпюру проектируемый объект исчезает, но вся информация о его форме, геометрических размерах и месте его положения в пространстве сохраняются.
А (x A , y A , z A x A , y A и z A в следующей последовательности (рис. 2). Эта последовательность называется методикой построения эпюра точки.
1. Ортогонально вычерчиваются оси OX, OY и OZ.
2. На оси OX x A точки А и получают положение точки А х .
3. Через точку А х перпендикулярно оси OX
А х по направлению оси OY откладывается численное значение координаты y A точки А А 1 на эпюре.
А х по направлению оси OZ откладывается численное значение координаты z A точки А А 2 на эпюре.
6. Через точку А 2 параллельно оси OX проводится горизонтальная линия связи. Пересечение этой линии и оси OZ даст положение точки А z .
7. На горизонтальной линии связи от точки А z по направлению оси OY откладывается численное значение координаты y A точки А и определяется положение профильной проекции точки А 3 на эпюре.
Характеристика точек
Все точки пространства подразделяются на точки частного и общего положений.
Точки частного положения. Точки, принадлежащие аппарату проецирования, называются точками частного положения. К ним относятся точки, принадлежащие плоскостям проекций, осям, началу координат и центрам проецирования. Характерными признаками точек частного положения являются:
Метаматематический – одна, две или все численные значения координат равны нулю и (или) бесконечности;
На эпюре – две или все проекции точки располагаются на осях и (или) располагаются в бесконечности.
Точки общего положения. К точкам общего положения относятся точки, не принадлежащие аппарату проецирования. Например, точка А на рис. 1 и 2.
В общем случае численные значения координат точки характеризует ее удаление от плоскости проекций: координата х от плоскости π 3 ; координата y от плоскости π 2 ; координата z от плоскости π 1 . Следует отметить, что знаки при численных значениях координат указывают на направление удаления точки от плоскостей проекций. В зависимости от сочетания знаков при численных значениях координат точки зависит в каком из октанов она находится.
Метод двух изображений
На практике, кроме метода полного проецирования используют метод двух изображений. Он отличается тем, что в этом методе исключается третья проекция объекта. Для получения аппарата проецирования метода двух изображений из аппарата полного проецирования исключается профильная плоскость проекций с ее центром проецирования (рис. 3). Кроме того, на оси 0Х назначается начало отсчета (точка 0 ) и из него перпендикулярно оси 0Х в плоскостях проекций π 1 и π 2 проводят оси 0Y и 0Z соответственно.
В этом аппарате все пространство делится на четыре квадранта. На рис. 3 они обозначены римскими цыфрами.
Плоскости проекций считаются непрозрачными, а зритель всегда находится в I -ом квадранте.
Рассмотрим работу аппарата на примере проецирования точки А .
Из центров проецирования S 1 и S 2 выходят проецирующие лучи l 1 и l 2 . Эти лучи проходят через точку А и пересекаясь с плоскостями проекций образуют ее проекции:
- А 1 – горизонтальная проекция точки А ;
- А 2 – фронтальная проекция точки А .
Чтобы получить эпюр точки А (рис. 4), в аппарате проецирования (рис. 3) плоскость π 1 с полученной проекцией точки А 1 вращают по часовой стрелке вокруг оси 0Х , до совмещения её с плоскостью π 2 . Направление поворота плоскости π 1 показана на рис. 3 стрелками. При этом на эпюре точки полученной методом двух изображений остается только одна вертикальная линия связи А 1 А 2 .
На практике построение эпюра точки А (x A , y A , z A ) осуществляется по численным значениям ее координат x A , y A и z A в следующей последовательности (рис. 4).
1. Вычерчивается ось OX и назначается начало отсчета (точка 0 ).
2. На оси OX откладывается численное значение координаты x A точки А и получают положение точки А х .
3. Через точку А х перпендикулярно оси OX проводится вертикальная линия связи.
4. На вертикальной линии связи от точки А х по направлению оси OY откладывается численное значение координаты y A точки А и определяется положение горизонтальной проекции точки А 1 OY не вычерчивается, а предполагается, что ее положительные значения располагаются ниже оси OX , а отрицательные выше.
5. На вертикальной линии связи от точки А х по направлению оси OZ откладывается численное значение координаты z A точки А и определяется положение фронтальной проекции точки А 2 на эпюре. Следует отметить, что на эпюре ось OZ не вычерчивается, а предполагается, что ее положительные значения располагаются выше оси OX , а отрицательные ниже.
Конкурирующие точки
Точки на одном проецирующем луче называются конкурирующими. Они в направлении проецирующего луча имеют общую для них проекцию, т.е. их проекции тождественно совпадают. Характерным признаком конкурирующих точек на эпюре является тождественное совпадение их одноименных проекций. Конкуренция заключается в видимости этих проекций относительно наблюдателя. Говоря другими словами, в пространстве для наблюдателя одна из точек видима, другая – нет. И, соответственно, на чертеже: одна из проекций конкурирующих точек видима, а проекция другой точки – невидима.
На пространственной модели проецирования (рис. 5) из двух конкурирующих точек А и В видима точка А по двум взаимно дополняющим признакам. Судя по цепочке S 1 →А→В точка А ближе к наблюдателю, чем точка В . И, соответственно, – дальше от плоскости проекций π 1 (т.е. z A > z A ).
Рис. 5 Рис.6
Если видима сама точка A , то видима и её проекция A 1 . По отношению к совпадающей с ней проекцией B 1 . Для наглядности и при необходимости на эпюре невидимые проекции точек принято заключать в скобки.
Уберем на модели точки А и В . Останутся их совпадающие проекции на плоскости π 1 и раздельные проекции – на π 2 . Условно оставим и фронтальную проекцию наблюдателя (⇩), находящегося в центре проецирования S 1 . Тогда по цепочке изображений ⇩ → A 2 → B 2 можно будет судить о том, что z A > z B и что видима и сама точка А и её проекция А 1 .
Аналогично рассмотрим конкурирующие точки С и D по видимости относительно плоскости π 2 . Поскольку общий проецирующий луч этих точек l 2 параллелен оси 0Y , то признак видимости конкурирующих точек С и D определяется неравенством y C > y D . Следовательно, что точка D закрыта точкой С и соответственно проекция точки D 2 будет закрыта проекцией точки С 2 на плоскости π 2 .
Рассмотрим, как определяется видимость конкурирующих точек на комплексном чертеже (рис. 6).
Судя по совпадающим проекциям А 1 ≡В 1 сами точки А и В находятся на одном проецирующем луче, параллельном оси 0Z . Значит сравнению подлежат координаты z A и z B этих точек. Для этого используем фронтальную плоскость проекций с раздельными изображениями точек. В данном случае z A > z B . Из этого следует, что видима проекция А 1 .
Точки C и D на рассматриваемом комплексном чертеже (рис. 6) так же находятся на одном проецирующем луче, но только параллельном оси 0Y . Поэтому из сравнения y C > y D делаем вывод, что видима проекция С 2 .
Общее правило . Видимость для совпадающих проекций конкурирующих точек определяется сравнением координат этих точек в направлении общего проецирующего луча. Видима та проекция точки, у которой эта координата больше. При этом сравнение координат ведется на плоскости проекций с раздельными изображениями точек.
Цели и задачи урока:
обучающая: показать учащимся использование метода прямоугольного проецирования при выполнении чертежа;
Необходимость применения трёх плоскостей проекций;
Создать условия для формирования умений проецировать предмет на три плоскости проекций;
развивающая: развивать пространственные представления, пространственное мышление, познавательный интерес и творческие способности учащихся;
воспитывающая: ответственное отношение к черчению, воспитывать культуру графического труда.
Методы, приёмы обучения: объяснение, беседа, проблемные ситуации, исследование, упражнения, фронтальная работа с классом, творческая работа.
Материальное обеспечение: компьютеры, презентация “Прямоугольное проецирование”, задачи, упражнения, карточки с упражнением, презентация для самопроверки.
Тип урока: урок закрепления знаний.
Словарная работа: горизонтальная плоскость, проекция, проецирование, профильная, исследовательский, проект.
Ход урока
I. Организационная часть.
Сообщение темы и цели урока.
Проведем урок-состязание , за каждое задание вы будете получать определенное количество баллов. В зависимости от набранных баллов будет выставлена оценка за урок.
II. Повторение о проецировании и его видах.
Проецирование – это мыслительный процесс построения изображений предметов на плоскости.
Повторение осуществляется с использованием презентации.
1. Перед учащимися ставится проблемная ситуация . (Презентация 1)
Проанализируйте геометрическую форму детали на фронтальной проекции и найдите эту деталь среди наглядных изображений.
Из создавшейся ситуации делается вывод, что все 6 деталей имеют одинаковую фронтальную проекцию. Значит, одна проекция не всегда дает полное представление о форме и конструкции детали.
Какой выход из этой ситуации? (Посмотреть на деталь с другой стороны).
2. Появилась потребность применения ещё одной плоскости проекций. (Горизонтальная проекция).
3. Необходимость в третьей проекции возникает тогда, когда и двух проекций бывает недостаточно для определения формы предмета.
Постановка размеров:
- на фронтальной проекции – длина и высота;
- на горизонтальной проекции – длина и ширина;
- на профильной проекции – ширина и высота.
Вывод: значит, чтобы научиться выполнять чертежи, нужно уметь проецировать предметы на плоскость.
Задание 1
Вставьте пропущенные слова в текст определений.
1. Существует _______________ и ______________ проецирование.
2. Если ______________ лучи выходят из одной точки, проецирование называется ______________.
3. Если ______________ лучи направлены параллельно, проецирование называется _____________.
4. Если ______________ лучи направлены параллельно
друг другу и под углом 90 ° к плоскости проекций,
то проецирование называется ______________.
5. Натуральное изображение предмета на плоскости
проекций получается только при ______________
проецировании.
6. Проекции располагаются относительно друг друга______________________________.
7.Основоположником метода прямоугольного проецирования является _______________
Задание 2. Исследовательский проект
Установите соответствие главных видов, обозначенных цифрами, деталям, обозначенным буквами, и запишите ответ в тетради.
Рис.4
Задание 3
Упражнение на повторение знаний геометрических тел.
По словесному описанию найти наглядное изображение детали.
Текст описания.
Основание детали имеет форму прямоугольного параллелепипеда, в меньших гранях которого выполнены пазы, имеющие форму правильной четырехугольной призмы. В центре верхней грани параллелепипеда расположен усеченный конус, вдоль оси которого проходит сквозное цилиндрическое отверстие.
Рис. 5
Ответ: деталь № 3 (1 балл)
Задание 4
Найдите соответствие технических рисунков деталей и их фронтальных проекций (направление проецирования отмечено стрелкой). По разрозненным изображениям чертежа составьте чертеж каждой детали, состоящий из трех изображений. Ответ запишите в таблицу (рис. 129).
Рис. 6
| Технические рисунки | Фронтальная проекция | Горизонтальная проекция | Профильная проекция |
| А | 4 | 13 | 10 |
| Б | 12 | 9 | 2 |
| В | 14 | 5 | 1 |
| Г | 6 | 15 | 8 |
| Д | 11 | 3 | 7 |
III. Практическая работа.
Задание №1. Исследовательский проект
Найдите фронтальную и горизонтальную проекции к данному наглядному изображению. Записать ответ в тетрадь.
Оценивание работы на уроке. Самопроверка. (Презентация 2)
На доске записаны баллы для оценивания первой части работы:
23-26 баллов “5”
19-22 баллов “4”
15 -18 баллов “3”
Задание №2. Творческая работа и
проверка его выполнения
(творческий проект)
Перечертить фронтальную проекцию в рабочую
тетрадь.
Дочертить горизонтальную проекцию, изменив
форму детали с целью уменьшения её массы.
При необходимости внести изменения на
фронтальной проекции.
Для проверки выполнения задания вызвать
одного-двух учеников к доске с целью объяснения
своего варианта решения задачи.
(10 баллов)
IV. Подведение итога урока.
1. Оценивание работы на уроке. (Проверка практической части работы)
V. Задание на дом.
1. Исследовательский проект.
Работа по таблице: определить к какому чертежу, обозначенному цифрой, соответствует рисунок, обозначенный буквой.
Проецирование на одну плоскость проекций. Как вы уже знаете, для построения проекции предмета сначала через все его точки мысленно проводят проецирующие лучи. Затем отмечают точки пересечения этих лучей с плоскостью проекций и соединяют их прямыми или кривыми линиями.
Расположим предмет перед плоскостью проекций так, чтобы при проецировании на получившемся изображении были видны три его стороны (рис. 36). Рассматривая эти изображения, легко представить пространственный образ предмета.
Такое проецирование в черчении используют для построения наглядных изображений.
Наглядные изображения могут быть получены как в результате прямоугольного так и косоугольного параллельного проецирования
Однако на наглядных изображениях предметы получают большие искажения Например. круглые части проецируются в эллиптические, прямые углы в тупые и острые. Изменяются и некоторые размеры предмета. Поэтому такие изображения в практике применяют редко.
Расположим предмет перед плоскостью проекций так, чтобы на изображении он оказался видимым только с одной стороны (рис. 37), и построим его прямоугольную проекцию. Теперь размеры длины и ширины предмета не изменяются, не будут искажаться углы между прямыми линиями, круглое отверстие изобразится окружностью.
Однако на нем нет третьего измерения - высоты. Чтобы такое изображение стало пригодным для использования на практике, его дополняют указанием о высоте предмета. Высоту можно обозначить на чертеже условно. Так поступают, если изображенный предмет не имеет выступов, впадин и т. п.
На рис. 38 дан чертеж детали, называемой «прокладка». Чертеж содержит одну прямоугольную проекцию. По чертежу видно, что длина детали 30 мм, а ширина 24 мм. В детали имеется одно круглое сквозное отверстие 0 16 мм. Из записи, сделанной на чертеже, узнаем, что толщина (т. е. высота) изображенной детали 4 мм (s 4). Примеры чертежей, содержащих одну прямоугольную проекцию, вы видели на рис. 31 и 32.
На чертеже, полученном при прямоугольном проецировании на одну плоскость, можно указать высоту не только предмета в целом, но и каждой его части, например каждой точки (вершины). При этом нет необходимости каждый раз записывать слово «высота» или «толщина». Достаточно рядом с проекцией той или иной части предмета поставить число, указывающее ее высоту.
Проекции, на которых высота частей предметов указана числом, называются проекциями с числовыми отметками.
Проекции с числовыми отметками вы уже встречали в географии.
Проецирование на две плоскости проекций.
На рис. 41 показан процесс проецирования нескольких предметов. Как видите, все они имеют одинаковые проекции. Поэтому по чертежу, содержащему одну проекцию, не всегда можно точно судить о геометрической форме предмета (параллелепипед, цилиндр или другое тело). Кроме того, на таком чертеже предмет виден лишь с одной стороны, на нем не отражена высота предмета. Все эти недостатки можно устранить, если построить не одну, а две проекции предмета. Для этой цели необходимо взять в пространстве две плоскости проекций (рис. 42), расположенные перпендикулярно относительно друг друга.
Одну из плоскостей проекций располагают горизонтально. Она называется горизонтальной плоскостью проекций и обозначается Н (латинская буква аш) Проекция предмета на эту плоскость называется горизонтальной проекцией.
Вторую плоскость проекций V (читает «вэ») располагают вертикально. Вертикальных плоскостей может быть несколько, поэтому плоскость проекций, расположенную перед зрителем, называют фронтальной (от французского слова «фронталь», что означает «лицом к зрителю»). Полученную на эту плоскость проекцию предмета называют фронтальной. Обратите внимание, что отверстие в детали спроецировалось на фронтальную плоскость проекций как невидимое, поэтому оно изображено штриховыми линиями.
Построенные таким образом проекции оказываются расположенными в пространстве в разных плоскостях (горизонтальной и вертикальной). Чертеж предмета строят на одном листе, т. е. в одной плоскости. Поэтому для получения чертежа предмета обе плоскости приводят (совмещают) в одну. Этот процесс можно легко проследить, если представить плоскости проекций пересекающимися между собой по линии х, которую называют осью проекций (рис. 42, б). Если теперь повернуть горизонтальную плоскость проекций вниз на 90° так, чтобы она совпала с вертикальной плоскостью, обе проекции окажутся расположенными в одной плоскости (рис. 43).
Границу плоскостей проекций на чертеже можно не показывать (рис. 43, б). Не наносят на чертеже проецирующие лучи и линию пересечения плоскостей проекций, т. е. ось проекций, если в этом нет необходимости.
Чтобы видеть при этом, что приведенные на чертеже проекции представляют изображения одного и того же предмета, их располагают в строгом порядке одну под другой.
На рис. 43 горизонтальная проекция расположена под фронтальной. Это принятое в черчении правило размещения проекций нельзя нарушать. Пример чертежа, содержащего две прямоугольные проекции - фронтальную и горизонтальную, Метод прямоугольного проецирования на две взаимно перпендикулярные плоскости был разработан французским ученым-геометром Гаспаром Монжем в конце XVIII века. Поэтому такой метод иногда называют методом Монжа.
Г. Монж положил начало развитию новой науки об изображении предметов - начертательной геометрии.
Проецирование на три плоскости проекций.
По двум проекциям предмета также не всегда можно точно представить пространственный образ предмета. Изображения на рис. 45, а могут быть проекциями предметов, показанных на рис. 45, б, рис. 45, в и др. Кроме того, в практике приходится часто строить чертежи очень сложных предметов, где двух проекций оказывается недостаточно для выявления геометрической формы и размеров изображаемого предмета.
Чтобы получить такой чертеж, по которому можно установить единственный образ изображаемого предмета, иногда необходимо пользоваться не двумя, а тремя плоскостями проекций (рис. 46).
Третью плоскость проекций W (читается «дубль вэ») называют профильной, а полученную на нее проекцию -- профильной проекцией предмета (от французского слова «профиль», что означает «вид сбоку»).
Профильная плоскость проекций - вертикальная. Для построения чертежа предмета ее располагают так, чтобы она была одновременно перпендикулярна горизонтальной и фронтальной плоскостям проекций. В пересечении с плоскостью Н она образует ось у, а с плоскостью V- ось z.
Для получения чертежа плоскость W повертывают на 90° вправо, а плоскость Н - вниз. Полученный таким образом чертеж (рис. 46) содержит три прямоугольные проекции предмета. (Оси проекций и проецирующие лучи на чертеже не показаны.) На чертеже профильную проекцию всегда располагают на одной высоте с фронтальной, справа от нее. Такой чертеж мы будем называть чертежом в системе прямоугольных проекций.
